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Arithmétique

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Utiliser les triangles semblables

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Produit de facteurs premiers

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Utiliser Thalès dans tous les cas

Mathématiques 3e

Période 1

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Etudier une liste de données

5

6

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Droites parallèles avec Thalès

7

Etudier un tableau ou un graphique de données

527395

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.O10 Recueillir des données, les organiserP4.O11 Lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagrammeP4.O12Utiliser un tableur-grapheur pour présenter des données sous la forme d'un tableau ou d'un diagrammeP4.O13 Calculer des effectifs, des fréquencesP4.O14 Calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion d'une série statistique

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G20 Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d'une figure géométriqueP4.G21 Faire le lien entre les cas d'égalité des triangles et la construction d'un triangle à partir de la donnée de longueurs des côtés et/ou de mesures d'anglesP4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.N20 Déterminer si un entier est ou n'est pas multiple ou diviseur d'un autre entierP4.N21 Déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100P4.N22 Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10P4.N23 Déterminer les diviseurs d'un nombre à la main, à l'aide d'un tableur, d'une calculatriceP4.N26 Modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de phénomènes, etc.)

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G20 Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d'une figure géométriqueP4.G21 Faire le lien entre les cas d'égalité des triangles et la construction d'un triangle à partir de la donnée de longueurs des côtés et/ou de mesures d'anglesP4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.N24 Décomposer un nombre entier en produits de facteurs premiers (à la main ou à l'aide d'un logiciel)P4.N25 Simplifier une fraction pour la rendre irréductibleP4.N26 Modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de phénomènes, etc.)

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G20 Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d'une figure géométriqueP4.G21 Faire le lien entre les cas d'égalité des triangles et la construction d'un triangle à partir de la donnée de longueurs des côtés et/ou de mesures d'anglesP4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.O10 Recueillir des données, les organiserP4.O11 Lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagrammeP4.O12Utiliser un tableur-grapheur pour présenter des données sous la forme d'un tableau ou d'un diagrammeP4.O13 Calculer des effectifs, des fréquencesP4.O14 Calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion d'une série statistique

maths 3e séquence 1

Utiliser des diviseurs, des multiples, des nombres premiers.

Méthode

Définitions

Critères de divisibilité

Trouver les diviseurs communs à deux nombres

Entier naturelMultipleDiviseurNombre premier

÷

Propriétés:Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.Exemples :26 ; 48 et 10 024 sont divisibles par 2.855 et 1 250 sont divisibles par 5.1 250 est divisible par 10.Propriété:Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.Exemple : 1 912 est divisible par 4 car 12 est divisible par 4.Propriétés:Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.Exemples :32 784 est divisible par 3 car 3+2+7+8+4=24, or 24 est divisible par 3.468 est divisible par 9 car 4+6+8=18, or 18 est divisible par 9.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Exemple : Trouver tous les diviseurs communs à 52 et 78.On dresse la liste des diviseurs de 52.52 = 1 x 5252 = 2 x 2652 = 4 x 13Les diviseurs de 52 sont : 1;2;4;13;26;52.On dresse la liste des diviseurs de 78.78 = 1 x 7878 = 2 x 3978 = 3 x 2678 = 6 x 13Les diviseurs de 78 sont : 1;2;3;6;13;26;39;78On compare les deux listes : les diviseurs communs à 52 et 78 sont donc : 1;2;13;26.

Definition : Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.Exemple : 0, 1, 2 et 3 sont des entiers naturels.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a = b × k où k est un entier naturel, alors on dit que a est un multiplede b .Exemple : 15 = 3× 5donc 15 est un multiple de 5et aussi 15 est un multiple de 3.On dit aussi que 15 est divisible par 3 et par 5.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a = b × k où k est un entier naturel, alors on dit que b est un diviseurdea .Exemple : 21 = 3× 7donc 3 est un diviseur de 21et aussi 7 est undiviseur de 21.On dit aussi que 3 et 7 divisent 21.

Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.Début de la liste des nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…Le nombre 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur.

Maths 3e - séquence 2

Calculer une longueur dans un triangle en utilisant les triangles semblables

Trianglessemblables

Définition :Dire que deux triangles sont semblables signifie que leurs angles sont égaux deux à deux. On dit aussi que ces triangles sont de même forme.Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblablesPropriété : Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.

Définition

Définition :Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure.Pour prouver que deux triangles sont semblables, on utilise la propriété suivante :Propriété: Si deux triangles ont au moins deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.

Méthode

Propriété

Propriété: Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.Les triangles ABC et DEF sont semblablesavec comme côtés homologues [AB] et [EF], [AC] et [DF], [BC] et [DE].D'après la propriété, on peut alors écrire :Les quotients ainsi obtenus correspondent au coefficient d'agrandissement ou de réduction.

maths 3e séquence 3

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.Rendre une fraction irréductible.

Simplifier

Définitions

Décomposer

Utiliser la décomposition

ProduitFacteurNombre premierIrréductible

×

Propriété :Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.Cette décomposition est unique.Exemple :On peut décomposer 588 en produit de facteurs premiers :588 = 2 × 294294 = 2 × 147147 = 3 × 4949 = 7 × 7Ainsi, 588 = 2 × 2 × 3 × 7 × 7 = 2² × 3 × 7²

Rendre une fraction irréductible.

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Definition :Un produit est le résultat d'une multiplication.

Définition : Dans un produit, les nombres qu'on multiplie s'appellent des facteurs.

Définition :Une fraction est dite irréductible si elle ne peut pas être simplifiée.Quand le numérateur et le dénominateur d'une fraction n'ontpas d'autre diviseur commun que 1, alors la fraction est irréductible.

Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.Début de la liste des nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…Le nombre 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur.

Maths 3e - séquence 4

Calculer une longueur en utilisant le théorème de Thalès dans tous les cas

Les troisconfigurations

Théorème de Thalès

Théorème :Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.B et M sont deux points de (d) distincts de A.C et N sont deux points de (d') distincts de A.Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alorsCe théorème s'énonce également sous la forme suivante :Propriété :Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Méthode

Calculer une longueur

Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.D'après le théorème de Thalès, on a donc :

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Maths 3e - Séquence 5

Etudier une liste de données

Calculer une moyenne simple

Définition :La moyenne d'une série de données est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l'effectif total de la série.

Calculer l'étendue

Définition: L'étendue d'une série de données est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.

Déterminer une médiane

Définition : La médiane d'une série de données est une valeur qui partage cette série en deux groupes de même effectif :- les valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane.- les valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane.

Voici 5 notes : 12 ; 14 ; 15 ; 11 ; 18La moyenne de ces notes est :m = (12 + 14 + 15 + 11 + 18) ÷ 5m = 70 ÷ 5m = 14

Exemple 1 : Un professeur a classé par ordre croissant les notes des 13 garçons et des 14 filles d'une classe.Garçons : 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 17Il y a 13 valeurs, la valeur médiane est donc la 7e valeur.Ici la valeur médiane est donc 11.6 garçons ont eu 11 ou moins, et 6 garçons ont eu 11 ou plus.Filles :7 7 9 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 15Il y a 14 valeurs, la valeur médiane est donc comprise entre la 7e et la 8e valeur.Elle est donc comprise entre 12 et 13, elle peut donc être 12,5.7 filles ont eu moins de 12,5 et 7 filles ont eu plus de 12,5.

Exemple 1 : Un professeur a classé par ordre croissant les notes des 13 garçons et des 14 filles d'une classe.Garçons : 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 17Filles : 7 7 9 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 15Dans la série de notes des garçons, l'étendue est : 17 – 7 = 10.Dans la série de notes des filles, l'étendue est : 15 – 7 = 8.Les notes des filles sont moins dispersées que celles des garçons.

Maths 3e séquence 6

Démontrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles (Thalès)

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Démontrer que deux droites sont parallèles

Théorème

Propriété

Méthode

Rédiger

Réciproque

Rédiger

Méthode

Théorème de Thalès :Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.B et M sont deux points de (d) distincts de A.C et N sont deux points de (d') distincts de A.Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors

Propriété :Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et si deux des rapports AM/AB, AN/AC et MN/BC ne sont pas égaux, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Réciproque duThéorèmede Thalès:Si, d'une part les points A, B, M et, d'autre part les points A, C, N sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en A et si AM/AB=AN/AC, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

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Maths 3e - Séquence 7

Etudier un tableau ou un graphique de données

Calculer une moyenne pondérée

Définition :La moyenne d'une série de données est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l'effectif total de la série.

Calculer l'étendue

Définition: L'étendue d'une série de données est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série.

Déterminer une médiane

Définition : La médiane d'une série de données est une valeur qui partage cette série en deux groupes de même effectif :- les valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane.- les valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane.

Voici un tableau relevant les âges de 25 élèves.Age13141516Effectifs29113La moyenne de cette série est :m = (13 × 2+ 14× 9 + 15 × 11 + 16 × 3) ÷ 25m = 365 ÷ 25m = 14,6

A la question « Depuis combien d'années résidez-vous dans la même ville ? », les cinquante personnes interrogées ont donné les réponses suivantes :Nombre d'années123456plus de 6TotalEffectifs245106121150Effectifs cumulés261121273950L'effectif total est 50.Si on classe les valeurs par ordre croissant, la 25e valeur est 5.La médiane est donc égale à 5 années.Il y a autant de personnes qui résident dans la même ville depuis 5 ans ou moins, que de personnes qui résident dans la même ville depuis 5 ans ou plus.

Exemple 1 : Un professeur a classé par ordre croissant les notes des 13 garçons et des 14 filles d'une classe.Garçons : 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 17Filles : 7 7 9 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 15Dans la série de notes des garçons, l'étendue est : 17 – 7 = 10.Dans la série de notes des filles, l'étendue est : 15 – 7 = 8.Les notes des filles sont moins dispersées que celles des garçons.