res_pbs_typologies_progressions_CP

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Cette ressource comprend des éléments du prescrit (programmes, attendus, repères annuels, note de service du BO d'avril 2018), des apports de recherches, des outils pratiques pour l'enseignement. Elle est issue d'un travail collectif d'un groupe de formateurs de Saône et Loire , CPC et ERUN, animé par la CPD apprentissages fondamentaux cycle 2.

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Découvrir quels types de problèmes sont faciles /difficiles pour les élèves

Planifier, programmer son année au CP, au CE1, au CE2

Connaître des typologies de problèmes

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Connaître des typologies de problèmes

Ces typologies sont utiles aux enseignants pour comprendre des difficultés d'élèves, pour planifier son enseignement. Les élèves n'ont pas à connaître toutes ces catégories.

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Au choix :

Découverte avec des activités

présentation progressive, avec des vidéos, activités de classement...

Découverte d'une présentation

présentation plus rapide, synthétique, sans activité

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Quelles sortes de problèmes arithmétiques enseigner à l'école primaire ? trois catégories :

- les basiques (ou élémentaires)

- les atypiques

- les composés (ou complexes)

Pour approfondir, une rapide présentation de cette typologie :

Ou un court extrait d'un article de cette chercheuse.

Problèmes de type additif ou de type multiplicatif à une étape. Il s'agit pour les élèves de réussir à les résoudre en effectuant une seule opération. Cette grande catégorie recouvre différents types de problèmes (transformation composition, comparaison). Cela sera détaillé dans des diapos suivantes.

Problèmes à plusieurs étapes. Seulement deux au CP et au CE1 / trois au CE2. Ce sont des composés de basiques : que des additifs ou que des multiplicatifs ou une combinaison d'additif-s et multiplicatif-s. Au CP, seulement dans le champ additif. Au CE, combinaison d'additif-s et multiplicatif-s. Il s'agit pour les élèves de réussir à les résoudre en effectuant plusieurs opérations (autant que d'étapes).

Plutôt des énigmes, ne nécessitant pas forcément des opérations, parfois avec plusieurs réponses possibles. Il s'agit pour les élèves de chercher ; les compétences mobilisées : s'engager, persévérer, souvent collaborer.

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Dans la catégorie des basiques, différents types :

champ additif ou multiplicatif

On cherche :

Ces problèmes au cycle 2

La typologie présentée ici est issue des travaux du chercheur Gérard Vergnaud. Chaque problème se résoud soit par une addition ou soustraction (champ additif)/ soit par une multiplication ou division (champ multiplicatif).

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Dans la catégorie des composés, deux types :

Ces problèmes au cycle 2

plusieurs étapes

Un exemple : Au départ d'un bus, 10 passagers y montent. A l'arrêt suivant, 3 descendent et 6 montent. Combien y a-t-il de passagers quand le bus repart ? (addition, soustraction)

A partir du CE. Deux exemples : Lucie avait 60 perles. Elle a fabriqué 3 colliers avec 20 perles chacun. Combien lui reste-t-il de perles ? (multiplication / soustraction) Dans un restaurant, il y a 4 tables de 6 personnes et 7 tables de 4 personnes. Combien ce restaurant peut-il recevoir de clients ? (multiplications / addition)

Point de vigilance : pas de question intermédiaire sinon cela revient à faire résoudre successivement, sans recherche, deux problèmes basiques.

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La catégorie des atypiques

Ce type de problèmes, dont il n'est pas attendu des élèves qu'ils les réussissent, mobilisant d'autres compétences (chercher, oser, s'engager, collaborer...), n'est pas mentionné dans la note de service d'avril 2018 ni dans les attendus et repères annuels des trois années du cycle 2 (sauf l'exemple ci-dessous pour le CP qu'on peut considérer comme atypique). Une allusion est faite dans le programme de cycle 2 : "On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements."

Au cycle 2, à proposer occasionnellement, généralement sous forme d'énigmes, défis...

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Découvrir quels types de problèmes, basiques additifs, sont faciles /difficiles pour les élèves

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Au cycle 2, on doit faire résoudre beaucoup de problèmes basiques additifs, dans les trois catégories : - composition- transformation- comparaison (peu).

Des éléments pour répondre à ces questions :

- dans les taux de réussites aux différents problèmes des évaluations

- dans une recherche

- dans la note de service

Synthèse

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La note de service relative à la résolution de problèmes (BO avril 2018) mentionne effectivement que, dans cette catégorie des basiques additifs, des problèmes (notamment ceux faisant appel à une soustraction) "sont d'une difficulté inégale pour les élèves".

composition ; recherche d'une partie

transformation : recherche de l'état initial avant gain

transformation : recherche de l'état final après perte

Dans le cadre de la formation dans le département, il a été demandé aux enseignants de proposer ces problèmes à leurs élèves. S'agissant des CP (période 2), les nombres ont été changés. - Léo et Lucie ont 10 billes à eux deux. Léo a 4 billes. Combien Lucie a-t-elle de billes? Composition, recherche d'une partie. nombre de réussites = moyen- Lucie avait 10 billes ce matin. Elle a perdu 4 billes pendant la récréation. Combien a-t-elle de billes maintenant ? transformation, recherche de l'état final dans le cas d'une diminution (perte) nombre de réussites = élevé- Lucie a gagné 4 billes à la récréation. Maintenant elle a 10 billes. Combien de billes avait-elle avant la récréation ? transformation, recherche de l'état initial avant une augmentation (gain) nombre de réussites = faible

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On cherche :

augmentation

diminution

Des taux de réussites aux problèmes des évaluations de mi-CP

70 %

57 %

63 %

26 %

48 %

(mi CP janvier 2019) Recueil des réponses dans des classes de deux écoles (une en Quartier Politique de la ville et une dans un quartier avec une mixité de milieux socio culturels) à Mâcon, soit 73 élèves. Evaluations nationales de janvier 2019.

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Des résultats d'une recherche

On cherche :

100 %

(dans le cas du gain)

56 %

(dans le cas du gain comme de celui de la perte)

78 %

(dans le cas de la perte)

39 %

(dans le cas de la perte)

100 %

39 %

28 %

28 %

17 %

Le document avec le tableau des pourcentages de réussites en GS, CP, CE1, CE2.

Les chercheurs : Riley, Greeno, Heller. Les problèmes ont tous le même contexte (Léo, Juliette / des billes) et les mêmes nombres en jeu (8, 5, 3). La seule variable est le type de problème.

Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble ?

Léo et Juliette ont 8 billes ensemble. Juliette a 3 billes. Combien Léo a–t–il de billes ?

Léo a 8 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a–t-elle ?

Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a–t-elle ?

Léo a 8 billes. Juliette en a 5. Combien Léo a t–il de billes de plus que Juliette ?

Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait-il de billes ? (recherche de l'état initial avant diminution, perte)

Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes (ou il a gagné des billes). Léo a maintenant 8 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo ? (recherche de la transformation dans un cas d'augmentation)Léo avait 8 billes. Puis il a donné des billes à Juliette (ou perdu des billes). Maintenant Léo a 3 billes. Combien de billes Léo a–t–il données à Juliette ? (recherche de la transformation dans le cas d'une diminution)

Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? (état final après augmentation, gain)Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. (ou perdu) Combien de billes a maintenant Léo ? (état final après diminution, perte)

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Synthèse

- Certains types de problèmes sont plus difficiles que d'autres. Ce sont les mêmes dans les observations de résultats divers (petite expérimentation dans le département, résultats des évaluations, recherche de Riley).

- Les problèmes se résolvant par addition ne sont pas tous plus facilement réussis que ceux se résolvant par soustraction/addition à trou.

- La catégorie des problèmes de comparaison, avec les trois types qu'elle recouvre, est celle pour laquelle les élèves réussissent moins bien, avec des faibles pourcentages (28%, 17%, 28% au CP dans la recherche de Riley)

Conclusion : des constats pour le cycle 2

- Dans les catégories des problèmes de transformation et de comparaison, les différences de complexité sont variables. On ne peut pas dire qu'une des deux est plus facile que l'autre. Et il y a des différences au sein de chacune d'elles.

- Les problèmes les plus faciles (résolus par 100% des élèves dans la recherche de Riley) sont ceux de recherche d'un tout (addition) , de recherche d'un état final après perte (soustraction), de recherche d'un état final après gain (addition).

4 niveaux de problèmes

Chercher un état final ("Combien maintenant , combien reste t-il...") , que ce soit dans le cas d'une augmentation (addition) comme dans le cas d'une diminution (soustraction/addition à trou) est aussi bien réussi ; ce sont d'ailleurs des problèmes avec 100% de réussites (dans cette recherche - ceci ne signifie pas que tous les élèves de votre classe réussiraient tous sans apprentissage et sans étayage). Certains problèmes se résolvant par une soustraction/addition à trou sont plus facilement réussis que des problèmes se résolvant par une addition Exemple avec soustraction : recherche de la transformation dans un cas de diminution ; " il avait des billes, voilà ce qui lui reste, combien en a -t-il données?"- 78% dans la recherche de Rileyrecherche d'état initial avant perte - / exemple avec addition : "il a perdu..., combien avait-il au départ ?"- 39% dans la recherche de Riley)

Dans la catégorie des problèmes de composition, on voit dans la recherche de Riley, 100% de réussites pour la recherche d'un tout et seulement 39% pour la recherche d'une partie. Dans la catégorie des problèmes de transformation, on voit par exemple, 100% de réussites pour la recherche de l'état final et seulement 56% pour une des recherches de transformation ou 39% pour une recherche d'état initial.

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Quelques explications par des chercheurs.

Conséquences pour l'enseignement.

Pour approfondir ou avoir une trace écrite : un document présentant ces recherches.

Recherche d'un état final après perte : 100% de réussites

Recherche d'un état final après gain Recherche d'un tout (réunion de deux parties) : 100% de réussites

Ces apports servent à avoir des références pour estimer des niveaux de difficulté de types de problèmeset donc :- mieux comprendre des difficultés d’élèves (pouvoir anticiper / réguler, étayer pendant la mise en œuvre) - prévoir une progressivité Il est important de ne pas surinvestir les problèmes qui sont dans le champ des analogies intuitives (ceux réussis, sans apprentissage particulier, à plus de 75 % environ) parce qu’ils donnent à voir une « expertise apparente » mais ne montrent pas si les notions sont vraiment apprises. Principe à retrouver dans le chapitre sur la planification de l'année.

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Planifier, programmer son année au CP, au CE1, au CE2

et avoir une vision de la planification pour tous les niveaux de l'élémentaire.

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Dosage, répartition des trois types de problèmes pour le cycle 2

basiques composés atypiques

Des propositions de panoramas annuels

Quatre principes pour affiner la progressivité

Des propositions de programmations par périodes

CE1

CE2

CE1

CE2

CP

CP

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Quatre principes pour affiner la progressivité

Ne pas prévoir des modules dédiés uniquement à des problèmes avec additions / des modules dédiés uniquement à des problèmes avec soustractions / des modules dédiés uniquement à des problèmes de groupement, de partages → alterner en permanence les types d’opérations (flexibilité cognitive)

Certains manuels proposent des séquences ou modules pour travailler l'addition et les problèmes donnés se résolvent uniquement par additions. Ceci ne permet pas vraiment de construire le sens des opérations, d'apprendre aux élèves à raisonner, à modéliser pour résoudre des problèmes.

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Ne pas surinvestir les problèmes qui sont naturellement bien réussis (ils sont dans le champ des conceptions intuitives) : - ceux de recherche de tout (réunion de parties) « combien en tout »- ceux de recherche de quantité finale (aussi bien dans le cas d’une augmentation ou d’une diminution) « combien maintenant, combien reste t il … ? » Ceux-ci nécessitent surtout une formalisation avec les écritures mathématiques ou peuvent être utilisés notamment pour installer des schémas, mais ils permettent peu le développement de la compétence « modéliser ».Ceci est à nuancer au regard de la nécessaire différenciation ; les problèmes de ces catégories doivent être proposés et faire l’objet d’adaptations, d’étayages tant que nécessaire pour certains élèves.

Certains manuels proposent des séquences ou modules pour travailler l'addition et les problèmes donnés se résolvent uniquement par additions. Ceci ne permet pas vraiment de construire le sens des opérations, d'apprendre aux élèves à raisonner, à modéliser pour résoudre des problèmes.

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Pour les problèmes avec soustraction, ne pas surinvestir ceux de recherche d’état final dans le cas d’une diminution ( « Combien reste-t-il... ? »).

Même recommandation à retrouver chez un collectif de chercheurs et enseignants (ACE) - chez des chercheurs :

C'est ce que précise la note de service sur la résolution de problèmes (BO avril 2018)

Arithmétique à l'école (ACE)

Vergnaud, Riley, Sander

Beaucoup de manuels et fichiers de CP proposent majoritairement ce type de problèmes...

" Les différents types de problèmes se résolvant par une même opération doivent être rencontrés et explicités aux élèves, selon une programmation réfléchie tenant compte des différents niveaux de difficulté et de l'impératif de ne pas laisser s'installer une vision réductrice du sens des opérations. La soustraction, par exemple, ne doit pas être assimilée à la seule situation de retrait."

« La notion de somme ne pose pas de problème. La notion de différence est beaucoup plus délicate. Contrairement à ce qui se fait le plus souvent nous n’introduisons pas la soustraction à partir de problèmes de calcul du reste après une perte et nous recommandons aux professeurs d’éviter de donner de tels problèmes avant que les élèves aient acquis de solides compétences en matière d’analyse et de codage des énoncés. En effet associer le signe « - » à une situation de perte rend très difficile de concevoir que l’on fait la même opération de calcul d’une différence lorsqu’on calcule un gain connaissant l’avoir initial et l’avoir final. L’élève qui fait ce calcul par une addition à trou, ce qui est le cas le plus fréquent, a l’impression de faire une addition et s’il trouve le bon résultat avec des petits nombres, il a de fortes chances de poser une addition s’il doit opérer avec de grands nombres. En outre, si la soustraction est associée à une perte, il est très difficile d’imaginer de faire une soustraction pour le problème, Pierre a 5 billes, Jean en a 8. Qui en a le plus ? Combien en a-t-il de plus ? Faire apprendre la soustraction à partir d’une situation de perte crée un obstacle à la généralisation de l’opération aux autres situations de calcul de différence. »

« Sur les 11 catégories de soustraction de la typologie, plus de 90 % des problèmes donnés se concentrent sur la seule catégorie des recherches de restes dans une situation de retrait. Cette analogie de substitution donne sens à la notion mais elle induit une focalisation sur un seul type de situation ; elle est nécessaire mais limitante car elle éclipse la diversité des situations de soustractions »

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Prévoir un enseignement qui comprenne une large part faite aux entraînements avec rebrassages.

Il est recommandé de proposer 10 problèmes par semaine. Dans la partie "mise en oeuvre" (site des fondamentaux, cycle 2), des pistes pour ce faire...