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Découverte de la symétrie axiale

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6e

M.ENOCQ

Plan de la leçon sur la Symétrie Axiale

Axes de symétrie d'une figure

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Première Approche : Par pliage

Lien avec la médiatrice d'un segment

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Constructions

Symétrique d'un point par rapport à une droite

Symétrique d'une figure géométrique

Propriétés de la symétrie axiale

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Symétrie d'une droite par rapport à une droite

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Symétrie d'un cercle par rapport à une droite

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b

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Règle etCompas

Règle etEquerre

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Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si ces figures se superposent par pliage suivant cette droite. La droite (d) s’appelle l’axe de symétrie.

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Première Approche

Actionne le petit curseur bleu pour afficher la figure qui se superpose par pliage.Tu peux modifier les points A,B et C et la droite (d) qui est l'axe de symétrie. La figure image est automatiquement modifiée aussi !

Autre exemple

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Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si ces figures se superposent par pliage suivant cette droite. La droite (d) s’appelle l’axe de symétrie.

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Première Approche

Actionne le petit curseur pour afficher la figure qui se superpose par pliage.Tu peux modifier les points A,B et C et la droite (d) qui est l'axe de symétrie. La figure image est automatiquement modifiée aussi !

Suite

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L'axe de symétrie peut très bien passer à l'intérieur de la figure.

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Première Approche

Actionne le petit curseur pour afficher la figure qui se superpose par pliage.Tu peux modifier les points A,B et C et la droite (d) qui est l'axe de symétrie. La figure image est automatiquement modifiée aussi !

Suite

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Lien avec la médiatrice d'un segment

Nous avons vu que si l'on relie par un segment deux points A et A" qui se correspondent par symétrie axiale, la droite (d) selon laquelle on a plié (axe de symétrie) est en fait la médiatrice du segment [AA'] : en effet, c'est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire !

Actionne le petit curseur pour afficher la figure qui se superpose par pliage.

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Suite

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Propriétés de la Symétrie Axiale

Une figure et son image par symétrie axiale ont :• des côtés de même longueur• le même périmètre• la même aire• des angles deux à deux égauxDes points qui sont alignés ont également leurs images alignées (comme C,F et D).

Tu peux déplacer les points A, B, C,D et E, ainsi que les points sur l'axe de symétrie pour te rendre compte que les longueurs des côtés, le périmètre et l'aire du pentagone ABCDE et de son image A'B'C'D'E' restent bien égales entre elles.

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Suite

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Constructions

Construction du symétrique d'un point par rapport à une droite

Nous l'avons vu : dire que deux points A et A’ sont symétriques par rapport à la droite (d) revient à dire que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].Construire le symétrique d'un point A par rapport à une droite (d) revient donc à construire le point A' de telle manière que la droite (d) est la médiatrice de [AA'].Une première méthode pour faire ceci consiste à utiliser la règle et le compas.

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Méthode avec la règle graduée et l'équerre

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Une seconde méthode (moins précise) consiste à utiliser la règle graduée et l'équerre.

Construction du symétrique d'un point par rapport à une droite

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Constructions

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Remarque : un point situé sur l'axe de symétrie est son propre symétrique. On peut regarder cette l'animation GeoGebra ci-contre pour s'en convaincre

Méthode de la figure symétrique d'une figure par rapport à une droite

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Construction du symétrique d'une figure géométrique par rapport à une droite

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Constructions

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L'axe ne passe pas à l'intérieur de la figure

Suite

L'axe passe à l'intérieur de la figure

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Symétrie d'une droite par rapport à une droite

Tu peux déplacer les points A,et B et tu verras leurs symétriques se déplacer également.Tu peux modifier l'axe de symétrie (d) en déplaçant les points noirs.Le symétrique de la droite (AB) par rapport à (d) est également une droite. Pour la construire, il suffit de construire les symétriques de A et B.

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Suite

Nous le savons :• il suffit de deux points pour tracer une droite• des points alignés ont leurs symétriques également alignés.Ainsi, pour construire le symétrique d'une droite par rapport à une droite, il suffit de construire les symétriques de deux de ces points.

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Symétrique d'un cercle par rapport à une droite

Tu peux déplacer le centre 0 du cercle et modifier son rayon en déplaçant le point bleu.Tu peux aussi modifier la droite (d) en déplaçant les points noirs.Le cercle symétrique se modifie automatiquement.Le symétrique du cercle reste un cercle de même rayon. Les centres des cercles sont symétriques.

Le symétrique d'un cercle par rapport à une droite est également un cercle.Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs entre la figure de départ et son symétrique, il s'agit d'un cercle de même rayon.Conclusion : Pour construire l'image d'un cercle de rayon 4 cm et de centre O par rapport à une droite (d), il suffit donc de construire le point O' (symétrique de son centre O par rapport à la droite (d) ) et de tracer le cercle de centre O' et de rayon 4 cm.

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Suite

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Axes de symétrie d'une figure

Exemples :

Pour chacune des figures de ces exemples, essaie de deviner le nombre d'axe de symétrie de la figure, ensuite, vérifie en cochant la case "Montrer les axes de symétrie"

Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties de la figure de part et d'autre de cette droite se superposent par pliage le long de cette droite.Autrement dit, une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si elle sépare cette figure en deux parties symétriques par rapport à (d).

F

A

G

B

H

C

E

I

D