Les dérivées

LES DERIVEES

Dans ce module, tu vas découvrir la notion de dérivée. Dans ton parcours en analyse, tu as déjà étudié différents modèles fonctionnels : les fonctions du premier et second degré, les fonctions de référence, les fonctions trigonométriques. Cette année, le calcul de limites t'a permis d'étudier le comportement de la fonction là où elle n'est pas définie ou en l'infini...La dérivée complète ce parcours. Ce concept permet d'étudier, pour n'importe quelle fonction, la croissance ou la décroissance, l'existence d'éventuels extrema et de les situer.

C'est parti !

Secteur mathématique - Avril 2020

Contenu du module

Objectifs

Unité 01

Unité 02

Unité 03

Unité 04

Unité 05

LE NOMBRE DERIVE

LA FONCTION DERIVEE

METHODES DE CALCUL

LIEN ENTRE f' et f

LA DERIVEE EN CONTEXTES

Dans ce module, tu vas apprendre à...

Pour les fonctions du premier et second degré,tu a appris à décrire les variations de la fonction au départ de leur expression analytique. Cette année, tu vas te doter d'un nouvel outil qui te permettra d'étendre l'étude des variations à n'importe quelles fonctions au départ de son expression analytique : le calcul de dérivées. Il y a de nombreuses utilisations possibles de cette notion en physique, en mécanique, en économie... Unité 01 : Le nombre dérivé - Définir et interpréter graphiquement le nombre dérivé d'une fonction Unité 02 : La fonction dérivée - Construire la fonction dérivée f' d'une fonction f à partir du nombre dérivé Unité 03 : Les méthodes de dérivation - Appliquer les règles du calcul de dérivation Unité 04 : Lien entre une fonction et sa dérivée - Interpréter le lien entre une fonction et ses dérivées première et seconde Unité 05 : La dérivée en contextes- Résoudre des problèmes en utilisant la dérivée

UNITE 01 - Introduction

Quels sont les éléments qui caractérisent une fonction ?

LES FONCTIONS

Au D2, tu as appris à déterminer les caractéristiques d’une fonction à partir de son graphique ou de son expression analytique (pour certaines).Réactivons ces processus...

Cette année, le calcul des limites de fonctions t'a permis de déterminer l’équation des éventuelles asymptotes de n’importe quelle fonction…Sais-tu encore le faire ?

Quelles sont les fonctions de référence rencontrées ?

+ info

Au D2, tu as manipulé différents modèles fonctionnels. En voici une synthèse...

Comment déterminer le comportement d'une fonction là où elle n'est pas définie? En plus et moins l'infini?

SOLUTIONS DES EXPLORATIONS

UNITE 01 - Calcul du taux d'accroissement

Après avoir parcouru les explorations réactivant les savoirs et savoir-faire liés aux fonctions, tu as mis en évidence que certaines caractéritiques de la fonction ne pouvaient être déterminées algébriquement. Ce parcours va te permettre de construire un outil permettant d'étudier de manière plus précise la croissance / décroissance d'une fonction, à partir de son expression analytique.

En route pour cette découverte !

Comment décrire numériquement la croissance et/ou décroissance d'une fonction? Télécharge le fichier pdf explicatif Consulte des informations en ligne si tu en as besoin et réalise quelques exercices

UNITE 01 - Des sécantes à la tangente...

Tu as vu dans la partie précédente comment calculer les taux d'accroissement moyens d'une fonction sur des intervalles donnés.Calculer ces taux d'accroissement permet de décrire numériquement la croissance d'une fonction sur un intervalle. La valeur déterminée n'est pas représentative de la croissance en chaque point de l'intervalle : il s'agit d'une valeur moyenne sur un intervalle où le graphique de la fonction a été remplacé par une droite. Si l'on veut préciser le résultat, il importe de calculer le taux d'accroissement sur des intervalles dont la longueur est de plus en plus petite.Voici une animation dans laquelle tu vas pouvoir observer ce qui se passe quand l'intervalle sur lequel on calcule le taux d'accroissement devient de plus en plus petit, c'est-à-dire lorsque les deux points par lesquels passe la sécante à la courbe se rapprochent très fort l'un de l'autre.

UNITE 01 - Le nombre dérivé : définition

Comment passer du taux d'accroissement moyen au taux d'accroissement instantané? Dans l'animation Géogébra, tu as pu déplacer les sécantes à la courbe. En faisant en sorte que les deux points par lesquels passe la tangente se rapprochent de plus en plus l'un de l'autre, on voit comment pourrait se tracer une tangente à la courbe.Dans cette vidéo, on va formaliser cette construction de la tangente. Durant la vidéo, on te posera une question et on te proposera deux temps de pause durant lesquels tu prendras des notes. Bonne découverte ! Télécharge le fichier pdf explicatif

UNITE 01 - Ecrire l'équation d'une tangente

Tu sais que l'équation d'une droite passant par les points (a, f(a)) et (x,f(x)) est : Tu viens de voir que le coefficient angulaire (ou pente) d'une tangente vaut : Il s'écrit aussi f'(a) et se nomme nombre dérivé de la fonction f au point d'abscisse x=a. Connaissant cette valeur, on peut écrire l'équation de la tangente.

Dans ce module, les expressions pente, coefficient angulaire, coefficient directeur représentent la même notion.

UNITE 01 - Exerçons-nous...

> Exercice 1 Calcule le taux d'accroissement moyen de la fonction f(x) = 2x²- 1 sur l'intervalle [1,3]. Interprète graphiquemlent ton résultat. > Exercice 2 > Exercice 3Si f(x) = x², calcule f '(a) en utilisant la définition.En utilisant ta réponse, vérifie que la nombre dérivé de x² en x=3 vaut 6. > Exercice 4 Interprète graphiquement les 2 égalités suivantes : f(1)=2 et f '(1)=2Représente graphiquement ces informations. > Exercice 5 Ecris l’équation de la tangente au graphe de la fonction f en x = 1 une fonction f telle que : a) f(1)=2 et f'(1)=2 b) f(1)=-1 et f'(1)=-2 c) f(1)=1 et f'(1)=0

Solution

a) y=2x b) y = -2x+1 c) y = 1

f(1)=2-1=1 f(3)=18-1=17 Différences des x = 3-1=2 taux d'accroissement moyen = 8

f(1)=2, cela veut dire que 2 est l'image de 1 par la fonction f, ou que le point (1,2) est sur le graphe de f f'(1)=2, cela veut dire que le nombre dérivé de f en 1 vaut 2, ou que la pente de la tangente au graphe de f au point d'abscisse 1 vaut 2.

UNITE 01 - Exerçons-nous...

> Exercice 6

UNITE 01 - Prêt pour un test ?

Prêt pour un petit test ?

Code du test : QJJU6D

Complément pour les math 6p : Quand une fonction est-elle dérivable ? Y-a-til un lien entre continuité et dérivabilité ?

Pour réaliser ce test, tu devras t'inscrire comme élève sur goformative, en utisant ton adresse mail. Si tu préfères la version papier, c'est ici.

UNITE 02 - Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Jusqu'ici, tu as appris à : - calculer un taux d'accroissement moyen d'une fonction, c'est-à-dire calculer une pente d'une sécante- calculer le taux d'accroissement instantané d'une fonction en un point, c'est-à-dire calculer la pente d'une tangente au graphe en un point donné- calculer un nombre dérivé d'une fonction à partir de la défintion en termes de limites- écrire des équations de tangentes et observer des propriétés de croissance de la fonction par rapport à ces tangentesDans cette partie, tu vas construire la FONCTION f' , dérivée d'une fonction f. Pour cela, à chaque point d'abscisse a où l'on calcule le nombre dérivé f'(a), on va associer un point qui est l'image de a par cette fonction dérivée f'.

Dans cette animation, que tu peux parcourir en cliquant pas à pas sur les boutons à gauche de l'écran, tu vas observer comment construire la fonction dérivée en associant à chaque point d'abscisse a le nombre dérivé, c'est-à-dire la pente de la tangente au graphe de f au point d'abscisse a.

UNITE 02 - Construction point par point de la fonction dérivée d'une fonction de référence

Construisons la fonction dérivée de x² point par point. Pour cela, on trace le graphe de x².En un point P du graphe de f, on trace la tangente en ce point. Ensuite, on place ces valeurs dans deux cellules A et B d'un tableau.La troisième étape consiste à construire le graphique qui à chaque abscisse x, associe le nombre dérivé en ce point. Petit à petit se trace alors la fonction dérivée. Manipule le fichier ci-contre pour observer cette construction. Tu peux aussi, toi-même tracer sur papier, point par point, le graphique de la dérivée en reportant dans un système d'axes les deux valeurs des colonnes A et B. Quelle fonction obtiens-tu?

UNITE 02 - Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Dans cette animation, tu as pu- voir comment se construit la fonction dérivée à partir du nombre dérivé : à chaque point de la courbe de f, on associe une tangente et sa pente. La valeur de cette pente en chaque point x de la courbe est f'(x). Cela signifie qu'à chaque point x, on peut associer une valeur f'(x) pour construire une fonction qui se nomme f'. Reprends maintenant l'animation du skieur et observe ce qu'il te dit quand il monte ou descend le long de son chemin. On peut formuler des observations

Lorsque la tangente a une pente positive, la fonction est croissante. Lorsque la tangente a une pente négative, la fonction est décroissante.Lorsque la tangente a une pente nulle, la fonction a admet une tangente horizontale.

Synthèse

UNITE 02 - Calculer la fonction dérivée d'une fonction usuelle

Comment calculer la dérivée d'une fonction constante?

Calculer la dérivée d'une fonction usuelle

UNITE 02 - Premiers exercices en utilisant les formules des dérivées

Voici quelques exercices pour lesquels tu vas utiliser le formulairedes dérivées usuelles

> Formulaire des dérivées des fonctions usuelles

> Applications des premières formules...

Solutions

UNITE 02 - Temps d'arrêt ... je me questionne sur mes connaissances et ma méthode de travail

Si une séance de questions/réponses avec ton professeur est prévue, comment vas-tu la préparer ? - je retourne à la page qui cite les objectifs de l'unité, je les relis, - pour chaque objectif, j'associe l'exercice correspondant de la série- j'explicite la démarche suivie pour chaque type d'exercices.PUIS ... je prépare une série de questions à poser à mon professeur

math4

math6

UNITE 03 - Les exposants fractionnaires (math 6h)

Pour pouvoir calculer facilement les dérivées des fonctions avec des radicaux, tu vas devoir d'abord les transformer en fonctions du type "puissance". Tu vas pouvoir faire cette transformation d'écriture en utilisant des exposants fractionnaires. Jusqu'à présent, tu connais les exposants naturels : x², x³...,les exposants entiers : . Tu vas maintenant découvrir ce que représentent des exposants fractionnaires : .

Réalise quelques exercices ici

Une fois que tu as compris comment fonctionnent les exposants du type 1/n, tu as accès aux exposants du type p/n.

UNITE 03 - Découvrir des méthodes pour calculer rapidement des fonctions dérivées

Jusqu'à présent, tu connais quelques fonctions dérivées. Ces formules tu les as établies en utilisant la définition de fonction dérivée. Pour calculer des dérivées plus rapidement, il existe des formules pour calculer la dérivée d'une somme de fonctions, d'un produit de fonctions, ... Voci les formules, nous allons voir comment les utiliser. Comme en algèbre, le secret pour savoir calculer rapidement des dérivées en utilisant ces formules, c'est de s'exercer....s'exercer....encore et encore...

Math 6p : Si tu veux comprendre comment ces formules sont établies, clique ici

> Comment utiliser les formules de dérivées ? Voici une vidéo explicative

UNITE 03 - Dérivée de composées de fonctions

Il te reste une formule à découvrir : les dérivées de fonctions composées. Avant cela, nous allons voir ou revoir ce que signifie composer deux fonctions.

Tu es maintenant prêt à découvrir la formule de dérivation des fonctions composées.

Tu as vu toutes les formules.Les voici rassemblées dans un formulaire...

Une vidéo

Des explications en ligne

Formulaire math 4p

Formulaire math 6p

UNITE 03 - Exercices

> Exercices d'application des règles de calcul de dérivées

C'est parti....

Voici un calculateur de dérivée en ligne si tu veux t'auto-corriger

UNITE 03 - Rechercher des équations de tangentes

Ecrire l'équation de la tangente au graphique de f au point d'abscisse x=a , c'est écrire l'équation d'une droite dont la pente est f'(a) et passant par le point (a, f(a)).Pour réaliser cet exercice, tu peux mémoriser l'équation de la tangente ou travailler au départ de l'équation de la droite oblique (y=mx+p), calculer le paramètre m, puis p. > Exemple en suivant les deux démarches : Ecris l'équation de la tangente à f(x) = 2x³-4 en x=2

1) Calculer f'(a) a) calculer f'(x) f'(x) = 6x² b) évaluer f'(x) en x=2 f'(2) = 242) Déterminer a et f(a) si a=2 alors f(a) = f(2) = 12

1) Calculer m la pente de la droite la pente de la tangente = f'(a) a) calculer f'(x) f'(x) = 6x² b) évaluer f'(x) en x=2 f'(2) = 24 ==> y=24x+p 2) Déterminer la valeur de p si x=2 alors y = 12 ==> 12 = 24.2 + p p = -36 donc y=24x-36

==> y-12 = 24(x-2) y = 24x -36

Mémoriser une formule - Appliquer la formule

Activer une démarche connue en y intégrant la définition de la pente de la tangente

Solutions des exercices

UNITE 03 - Exercices

> Exercices variés sur les dérivées de fonctions (math 6h)

> Un petit jeu d'association (cartes recto/verso) pour retenir les fomules

> Un QUIZZ pour te tester

Start

UNITE 03 - Temps d'arrêt ... je me questionne sur mes connaissances et ma méthode de travail

Réalise une synthèse des notions que tu as découvertes depuis le début du parcours.

Vérifie si ta synthèse t'aide pour un test ...

math 4h

math 6h

UNITE 04 - Etablir un lien entre la variation de la fonction et le signe de sa dérivée f'

Tu as déjà découvert graphiquement le lien qui existe entre le signe de f' et la croissance ou la décroissance de la fonction f .Nous allons maintenant tenter de découvrir le lien qui existe entre f' et f, si on ne dispose pas du graphique de f ni de f'. L'approche ici sera donc algébrique.

SOLUTIONS DE L'EXPLORATION

UNITE 04 - Construire une courbe à partir du signe de f'

Exercices à télécharger

Correction des exercices

Synthèse des liens entre f et ses dérivées première et seconde

Aide pour les exercices

UNITE 04 - Lien entre f, f' et f'' : exercices

Déterminer les intervalles où la concavité est positive ou négative

Déterminer les coordonnées de points d'inflexion (explications et exercices)

Esquisser le graphe d'une fonction à partir de renseignements sur f' et f''

UNITE 04 -

D'autres exercices d'étude de variation de fonctions, avec recherche des coordonnées de points particuliers.

Synthèses "Rôles de la dérivée première et de la dérivée seconde"

UNITE 04 - un test synthèse (math 4h)

Voici un vrai/faux à propos d'une fonction f dont le graphique est tracé ci-dessous.Ce test reprend des questions liées aux objectifs décrits depuis le début du module. N'hésite pas à réaliser ce travail en groupe, vous pouvez vous aider les uns les autres !

Extrait des outils d'évaluation inter-réseaux

UNITE 04 - un test synthèse (math 6h)

Extrait des outils d'évaluation inter-réseaux

UNITE 05 - objectifs

En cours de conception ....

UNIT 05 - Résoudre des problèmes en utilisant la dérivée, notamment en physqiue

https://www.youtube.com/watch?v=Hg4V8ddXMbo

Un premier lien intéressant ....

Félicitations!

Tu as terminé ce module d'apprentissage sur les dérivées. Tu pourras le reparcourir comme bon te semble en utilisant les retours aux différents modules et à la table des matières .

. Extraits issus des sites :

KHAN ACADEMY

CQFD 5ème

UN DERNIERECAPITULATIF ?

Cours de M.Borlon

Sesamath

Les dérivées

More creations to inspire you

ANCIENT EGYPT

MONSTERS COMIC "SHARING IS CARING"

PARTS OF THE ANIMAL CELL

PARTS OF A PROKARYOTIC CELL

PARTS OF THE PLANT CELL

Transcript