les fractions

Les fractions

Groupe de réflexion

Circonscription Meaux-villenoy

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Droite graduée

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Une approche variée pour construire la notion de fraction Fractions et Kapla Fractions et géoplan Ancrer les fractions au réel La tour infernale La course au nombre

Ce que dit la recherche Ces façons de penser aux fractions pourraient sembler hors de la portée des élèves de l’élémentaire, mais ce n’est pas le cas. L‘important est de commencer à développer un sens plutôt que de présenter le symbole seulement. Étant donné que les expériences acquises par les enfants lorsqu’ils coupent, répartissent, divisent, mesurent et assemblent des quantités leur sont signifiantes, des problèmes vécus à travers ces expériences constituent une richesse en ce qui concerne les fractions.

Exemples d'activités Du matériel: des bandes, des mosaïques, des kaplas, des légos... Le calque Le guide âne

Ce que nous allons voir... Représenter avant d'abstraire Modéliser un problème sur les fractions (méthode en barre)

Positionner une fraction sur une droite graduée La course au nombre Place la fraction La course aux dixièmes Pliage et droite graduée

Padlet collaboratif Padlet avec des outils numériques, diaporamas, exercices en ligne...

Différentes approches

Les fractions

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Didactiques

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Chaque segment correspond à une longueur mesurable. Vous n'avez pas de règle mais des kaplas. Une liste d'écriture fractionnaire est donnée. Chaque segment correspond à une de ces écritures et à une lettre donnée.

Quelques relations et concepts mathématiques très complexes sont derrière la notion de fraction : - les relations partie-tout, -les relations partie- partie, - les fractions quotients, - les fractions présentées comme opérateurs.

Relations partie-tout

Relations partie-partie

Relations fraction quotient

Les différents sens d'une fraction

Les différentes significations de 13/4: Fractionnement de l’unité: 13 fois ¼ de pizza (13 est sans dimension, c’est un opérateur X) Division - partition de la pluralité: 13 cm divisé en 4 parties égales (4 est sans dimension, c’est un opérateur) Proportion: 13 et 4 renvoient à des grandeurs de natures différentes : 13 km et 4heures (13 km en 4 heures) Division - quotition: 13 et 4 renvoient à des grandeurs de même nature. La fraction désigne un rapport : Combien de fois 4cm dans 13 cm ?

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Relations partie-tout

Ce sont des fractions dans lesquelles le dénominateur indique l’unité fractionnaire, et le numérateur indique le nombre d’unités fractinnaires comptées.

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En général, lorsqu’il est question de fractions, on se réfère à trois modèles de tout : le modèle d’ensemble, le modèle de longueur et le modèle de surface.

Précisons que lorsqu’il est question de parties équivalentes, il ne s’agit pas nécessairement de formes identiques, bien que celles-ci soient plus faciles à utiliser. Les représentations de un quart sont basés sur l’aire du tout. Puisque chaque tout a une aire de 16 unités carrées, chaque quart a une aire de 4 unités carrées. Malgré leurs formes différentes, chacun de ces quarts représente une partie équivalente d’un même tout.

Afin de concrétiser le fractionnement, il est recommandé de présenter des activités de manipulation, telles que le pliage et le découpage. Ces activités permettent un examen tactile de la quantité représentée par une fraction. En effet, le fractionnement de bandes de papier pour représenter des demis, des tiers, des quarts, des cinquièmes de bandes est un exercice formateur pour les élèves. Par la suite, ces bandes peuvent servir de modèles dans d’autres situations d’apprentissage.

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Relations partie-partie (les rapports)

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Une fraction peut aussi être utilisée pour représenter une relation partie-partie ou un rapport de partie à partie. Dans une relation partie-partie, le nombre du dénominateur indique combien il y a d’éléments dans une partie de l’ensemble. Le nombre du numérateur indique combien il y a d’éléments dans l’autre partie de l’ensemble. L’unité fractionnaire, c’est-à-dire le nombre de parties équivalentes du tout, est déterminée par la somme des nombres du numérateur et du dénominateur.

Un rapport est une comparaison entre deux quantités de même nature au moyen de la division. De façon plus précise, le rapport est le quotient de cette division. Par exemple, s’il y a 2 garçons et 3 filles dans un groupe, on dit que le rapport du nombre de garçons au nombre de filles est de 2 à 3. Ce rapport s’écrit 2/3 et se lit « 2 à 3 ». Dans ce cas, il s’agit d’un rapport d’une partie d’un ensemble à une autre partie du même ensemble (rapport de partie-à-partie).

Le numérateur et le dénominateur sont des parties d’un tout. Dans ce cas, l’unité fractionnaire est modifiée par l’addition et/ou la soustraction. Un jour, j’ai réussi 5/6 des sauts avec ma bicyclette. Le jour suivant, j’ai réussi 3/6 des sauts. Quel a été mon taux de réussite général des sauts?

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Relations fraction-quotient

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Le concept de fraction présentée comme quotient est relatif à la division du numérateur par le dénominateur.

Trois amis veulent se partager deux pizzas. Combien chacun recevra-t-il? Il s’agit bien de 2 ÷ 3 qui peut être représenté par 2/3 . Pour trouver la réponse, on peut imaginer que la première pizza sera coupée en tiers et chacun recevra un tiers de la pizza. Ensuite, la deuxième pizza sera aussi coupée en tiers et chacun recevra un autre tiers de pizza.

Chaque ami recevra 2/3 d’une pizza.

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Fraction unitaire

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Les fractions dont le numérateur est 1 sont appelées fractions unitaires.

Fractions unitaires Mettre l’accent sur les fractions unitaires pour développer un sens des nombres fractionnaires. Les élèves devraient : - dénombrer en fractions unitaires (en commençant à 0 et en poursuivant au-delà de 1) pour développer un sens de la fraction en tant que nombre, du rôle du numérateur et du dénominateur, et de la relation entre le numérateur et le dénominateur; - assembler et décomposer des fractions en fractions unitaires; - développer une compréhension des fractions repères. Les très jeunes élèves possèdent souvent une compréhension intuitive de repères courants, tels qu’un demi, un tout, un et demi. À mesure qu’ils se familiarisent avec un plus grand nombre de fractions, ils devraient développer un bagage de fractions repères et s’y reporter, incluant des fractions équivalentes aux fractions repères les plus courantes. - Demander aux élèves de fractionner des figures en parties équivalentes et d’identifier, dès le début, des fractions de modèles de surface et d’ensemble plutôt que de leur donner des figures déjà divisées. - Utiliser un langage précis. À moins qu’une relation partie-partie soit spécifiquement mentionnée comme un rapport partie à partie (p. ex., 5 à 4), toutes les fractions devraient être lues comme des nombres. Par exemple, 5/4 signifie cinq quarts et non pas : – cinq sur quatre, qui amène les élèves à penser à l’organisation physique des nombres ou – cinq de quatre, qui ne favorise pas la compréhension d’une fraction comme étant un seul nombre.

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Le guide âne

Manipuler et donner du sens

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Le calque

Disques, mosaïques, légo...

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Matériels exploitables

Preuve par découpage et pliafe: faire le lien entre fractions aires.Travail spécifique sur la fraction unitaire."Si on le voit, on peut l'écrire..."

Pertinence et preuve visuelle Nombre fracturé unitaire Symbolisation dynamique Calcul visuel

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La droite graduée

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Pliage et droite graduée

La course aux dixièmes

Le tout à droite

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La droite graduée

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Pliage et droite graduée

La course aux dixièmes

Le tout à droite

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La corde à linge

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Technique qui permet à l’élève de solidifier sa compréhension du sens du nombre.

Progression possible:- La corde comporte des repères pré-marqués Discusion collective autour des relations et des équivalences. Les ajouter par rapport aux repères appropriés. Par exemple, 0 et 1/2 seraient déjà en haut sur la ligne et en classe les élèves se rendent compte que 1/4 est la moitié de cette distance, alors placerile 1/4 sur la ligne entre le 0 et 1 / 2. - Présenter une corde à linge vide. Les élèves doivent placer les fractions les unes après les autres. Les élèves connaissent la gamme des cartes qu'ils utilisent. Ils peuvent donc anticiper les plaements des différentes fractions.- Les élèves ne connaissaient pas à l'avance les fractions qu'ils peuvent tirer. Le premier élève ne sait pas où cette ligne commence ou se termine, mais à partir de là, il y a un ajustement constant à faire pour les autres élèves.Exemple: L'élève 1 place 1/2 et le place au milieu de la corde à linge en supposant que la ligne va de 0 à 1. L'élève 2 pioche un 2, le place à la fin, mais doit ensuite ajuster l'endroit où le 1/2 est placé car maintenant 1 doit être au milieu de la corde à linge. L'élève 3 tire 3/2, aucun ajustement n'est nécessaire à ce stade, mais l'élève doit estimer où 1 serait et faire la moitié de la distance jusqu'à 2 et placer la carte OU prendre la 1/2 distance et la reproduire trois fois. Et le jeu continue...- Possibilité de rajouter aux cartes fractions des nombres entiers.

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Pliage et droite graduée

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Cette vidéo présente une situation permettant de construire une bande unité graduée en dixièmes. Lors de cette activité, il y a transition, de l'objet, à la construction mentale des nombres à travers les grandeurs.

Le pliage d'une bande permet aussi de placer précisément des fractions. Des écritures fractionnaires sont piochées et doivent être replacées par pliage de la bande. Les élèves peuvent utiliser les pliages déjà présents ou procéder à de nouveaux pliages.

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Les Kaplas

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Les caractéristiques de cet objet permettent de mesurer des grandeurs entières ou fractionnaires, en cinquièmes, en tiers, en quinzièmes... et même en dixièmes.

Stabiliser le concept unité en matérialisant une unité qu'on peut manipuler, représenter et répliquer.

Aborder conjointement les fractions supérieures et inférieures à 1.

Mesurer des longueurs avec une unité non conventionnelle

Mettre en évidence la multiplicité des écritures fractionnaires d'un même nombre

Séquence possible

1) Construire en équipe Appropriation du matériel: chacun pose à son tour un élément, il s'agit d'obtenir une construction stable et régulière. Photographier les constructions pour une exploitation en classe. 2) Reproduire une construction donnée L'intention pédagogique de cette situation est de faire remarquer les rapports entre les différentes longueurs: 1 longueur = 5 largeurs = 15 épaisseurs et 1 largeur = 3 épaisseurs 3) Mesurer un segment avec comme unité le Kapla Vous devez mesurer ces segments sans règle graduée, simplement avec des kaplas. Trouvez au moins 3 écritures différentes de la solution. 4) Construire un segment à partir d'une écriture fractionnaire Les élèves disposent de kaplas, unités de mesure, à positionner. 5) La droite graduée Remplacer le kapla par une bande unité de même longueur. Problème: A l'aide de kaplas et de pliage, trouvez comment obtenir des dixièmes. La planchette , objet rectangulaire, devient progressivement segment unité.

Petits défis

J'ai deux figures. L'aire d'une des figures est 1/5 et celle de l'autre figure est 3/4. Quelles pourraient être mes deux figures ?

Une solution posssible

Correction

Traduire une situation à l'aide d'un matériel concret: Comment les élèves peuvent trouver le résultat de cette somme 3/4 + 1 + 1/2?

Représenter

Au cours de la phase représentationnelle de l’enseignement, on enseigne aux élèves à se servir de dessins bidimensionnels (au lieu du matériel de manipulation de la phase concrète) pour représenter les mêmes concepts.

Manipuler

Au cours de la phase concrète de l’enseignement, les élèves se servent d’objets tridimensionnels, ce matériel de manipulation les aidant à mieux saisir le nouveau concept. L’utilisation de ce type de matériel augmente le nombre de stimulations sensorielles chez l’élève pendant l’apprentissage du nouveau concept, ce qui augmente la possibilité de rétention des étapes procédurales nécessaires pour résoudre le problème.

Abstraire

Au cours de la phase abstraite, on leur enseigne à traduire les dessins bidimensionnels en symboles mathématiques classiques pour résoudre le problème. Faire correspondre les étapes abstraites au matériel de manipulation concret approprié.

L’enseignant doit faire de la modélisation aux trois stades. L’enseignant doit surveiller continuellement le travail des élèves durant les stades concret et semi-concret, en les interrogeant sur leur raisonnement et en donnant des explications, au besoin.

Il y a 56 arbres fruitiers dans un verger. 1 8 de ces arbres sont des pommiers. Les autres arbres sont des poiriers. Combien y a-t-il de poiriers ?

Représenter le tout et les parties. Donner un nom à chaque partie. Ne garder que ce qu'on cherche. L'action permet de représenter le sens du problème.

Mon tout est composé de 96 arbres. Je partage les arbres en 8. 96:8 = 12 Donc il y a 12 pommiers. Dans mon tout j'ai 12 pommiers. Le reste est composé de poiriers. 96 - 12 = 84 Il y a donc 84 poiriers.

Deux pirates se partagent un trésor en pièces d'or. Ils prennent chacun 2/5 des pièces. Il reste alors dans le coffre 5 pièces d'or. Combien y avait-il de pièces au départ dans ce trésor ?

Représenter la situation lors de la phase de correction.

Un fermier vend ses œufs au marché. A la première personne, il vend 2/5 des œufs qu’il a apportés. A la deuxième personne, il en vend 2/3. A la troisième personne, il en la moitié de ce qu’il reste après la deuxième personne. A la dernière personne il vend le reste, c’est-à-dire 12 œufs. Combien d’œufs le fermier avait-il au départ ?

D'autres problèmes pouvant être modélisés en barre: Emma a fait des tartelettes. Elle en a vendu ⅗ le matin et ¼ des tartelettes restantes l’après-midi. Si elle a vendu 200 tartelettes de plus le matin que l’après-midi, combien de tartes a-t-elle faites ? Le matin, Pierre, mange1/4 de la tablette, le midi il mange 2/5 de la tablette. Le soir il mange le reste de la tablette. Quelle fraction de la tablette mange-t-il le soir ? Sachant que la masse d’une tablette est 240 g. Calculer la masse de chocolat que mange Pierre le matin, le midi et le soir. A vous d'essayer...

Petits défis

Titre 2

Correction

Quelle fraction sur le plus petit dénominateur représente chaque couleur ? Quelle est la couleur qui occupe le plus d'espace et quelle fraction représente sa surface ?

Quelle est la couleur qui occupe le plus d'espace ? Quelle fraction représente cette surface ?

Petits défis

Titre 2

Trouve le plus de manière possible d'obtenir 1/4 de cette surface rectangulaire.

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La tour infernale

La course au nombre

Exemples d'activités

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Le géoplan

Fractions et kaplas

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Projeter la tarte illustrée ci-dessous et demander aux élèves d’estimer la fraction de la tarte qui reste.

Raisonnement de l'élève

D'autres exemples...

1. Présenter une peinture aux élèves et leur demander d’estimer la fraction du tableau qui est peinte en vert (en rouge, en bleu, etc.). 2. Pendre avantage d’une situation comme un rassemblement dans la cour de l’école et demander aux élèves d’estimer la fraction du groupe composée par les garçons, par les filles, etc. 3. Présenter divers modèles représentant une fraction et inviter les élèves à estimer la valeur des fractions présentées et à justifier leur estimation. 4. Montrer aux élèves des dessins qui représentent des touts et leur demander de représenter approximativement une fraction donnée sans effectuer le fractionnement.

Pour estimer une quantité, les élèves doivent d’abord saisir le contexte et, pour cela, avoir recours à leur sens analytique et à leurs expériences personnelles. Ce bagage prend souvent la forme d’une représentation mentale et joue le rôle de repère visuel. On n’insistera jamais assez sur l’importance d’enrichir constamment ce bagage de référents visuels en faisant vivre aux élèves des situations variées dans divers contextes. Soulignons que les élèves qui sont exposés à des référents visuels et à du matériel de manipulation, tels que les cercles de fractions, les jetons, les bandes de carton et les réglettes, développent plus facilement leur sens de l’ordre de grandeur, qui est indispensable à l’estimation de la quantité représentée par une fraction.

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Avec des bandes élastiques de couleur différente, sépare le carré en 4 parties qui ont la même surface.

À l’aide de bandes élastiques, représente un tout et ses 3 tiers.

• Manipulez des élastiques sur un géoplan virtuel paramétrable !
• Choix du géoplan : carré, rectangle, rond
• Calculatrice à disposition
• Annotations grâce à un crayon
• Tracés de droites
• 8 couleurs d’élastiques
• Affichage possible d’une grille
• Numérotation possible des nœuds
• Remplissage des formes