Intégrales

Le calcul intégral

Ce parcours d'apprentissage comprend cinq unités et va te permettre d'aborder la notion d'intégration, d'exercer la calcul intégral et ses applications.

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Secteur mathématique - Avril 2020

Contenu du module

Objectifs

Unité 01

PRIMITIVES

Unité 02

CALCUL D'AIRES

Unité 03

Unité 04

Unité 05

THM FONDAMENTAL

METHODES D'INTEGRATION

CALCUL DE VOLUMES (math6h)

Dans ce module, tu vas apprendre à...

Les deux notions les plus importantes en analyse sont la dérivée, rencontrée en 5ème et l'intégrale qui est abordée dans ce module. La détermination de la tangente à une courbe et le calcul du taux de variation instantané avaient servi de point de départ à l'introduction des dérivées. L'intégrale apporte une solution au problème de la mesure de l'aire d'une surface délimitée par une courbe pour laquelle nous ne disposons pas de "formule". Ce n'est qu'une application parmi beaucoup d'autres. Unité 01 : Primitive - Intégrale indéfinie - Définir et calculer une primitive d’une fonction Unité 02 : Calcul d'aire - Intégrale définie - Calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbeUnité 03 : Le théorème fondamental du calcul intégral - Etablir le lien entre dérivée et intégrale - Calculer la valeur exacte d'une intégrale définie à partir d'une primitive Unité 04 : Les méthodes d'intégration - Exploiter une autre méthode d'intégration : intégration par parties. Unité 05 : Les volumes de révolution - Calculer des volumes en utilisant le calcul intégral (uniquement pour les maths 6h)

Unité 01

Unité 01 - Introduction

Unité 01 - Primitives d'une fonction

Comme tu l'as lu dans l'introduction, primitiver (ou intégrer) une fonction, c'est l'opération inverse de dériver une fonction. Il va donc te falloir sous les yeux ton tableau des dérivées des fonctions usuelles.On dit qu'une fonction F est une primitive de f si et seulement si la dérivée de F est f. F'(x) = f(x) Par exemple : Détermine une primitive de cos(x). F(x) = sin(x) car (sin(x))' = cos(x) Détermine une primitive de 1/x. F(x) = ... Détermine une primitive de x² F(x) = .. Réfléchissons ensemble...

Une primitive d'une fonction est définie à une constante près.En effet, si sin(x) est une primitive de cos(x), sin(x)+1 l'est aussi, sin(x)+3 également, ... puisque la dérivée d'une constante est égale à 0. (sin(x))' = (sin(x)+1)' = (sin(x)+3)' = (sin(x)+c)' = cos(x) Si F(x) est une primitive de f(x) alors F(x) + c est aussi une primitive de f. L'ensemble des primitives d'une fonction est appelé intégrale indéfinie.

Comme tu as un tableau des dérivées des fonctions habituelles, il est important de disposer également d'un tableau des primitives dites "immédiates". Complète toi-même ce tableau à partir de ton tableau des dérivées.

Exerce-toi à calculer des primitives

Voici une vidéo dans laquelle on t'explique le calcul de quelques primitives du type puissance. Regarde cette vidéo, ensuite réalise les exercices.

Commencer les exercices en ligne

Lien vers un fichier géogébra qui calcule des primitives (cela te permettra de vérifier tes réponses)

Unité 01- Primitives immédiates - Méthode de décomposition

Méthode de décomposition pour la recherche de primitives

Unité 01 - Méthode de substitution

Dans de nombreux cas, la recherche des primitives n'est pas immédiate. Les fonctions dont on recherche les primitives peuvent être composées avec d'autres fonctions. On dit alors que l'on utilise la méthode de substitution.Rappelle-toi la formule de dérivées des fonctions composées !

Explications à télécharger

Explications à télécharger

Exerce-toi à calculer des primitives de fonctions composées

Lien vers un fichier géogébra qui calcule des primitives (cela te permettra de vérifier tes réponses)

Unité 01 - Primitives de fonctions composées - méthode de substitution

Lien vers un fichier d'exercices de calcul de primitives immédiates ou quasi immédiates (fonctions composées).

N'hésite pas à poser des questions à ton professeur ou à chercher de l'aide auprès de tes copains si besoin. Au début, ce n'est pas toujours facile d'appliquer la méthode de substitution mais avec un peu d'entrainement, cela ira presque tout seul ...

Prêt pour un test ?

Unité 02 - Calcul d'une aire curviligne

Dans cette partie, tu vas apprendre à calculer des aires délimitées par des courbes. Commençons par essayer de déterminer l'aire sous la courbe de la fonction f(x)= x². Pour cela, tu peux observer le graphique ci-dessous. Pour approximer l'aire de la surface délimitée par l'axe des x, les droites verticales x=0 et x=1 et la courbe y=x², on recouvre cette surface de n rectangles.Chaque rectangle a - une base égale à 1/n où n est le nombre de rectangles - une hauteur égale à : la valeur de la fonction en la borne inférieure ou supérieure de chaque intervalle.Une approximation par défaut et par excès de l'aire recherchée est donnée en faisant la somme des aires de ces n rectangles dont la hauteur est respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l'intervalle.

Déplace le curseur n dans l'image ci-contre. ==> Le nombre de rectangles augmente==> La largeur de ceux-ci diminue. En rose, tu visualises l'approximation par excès et en mauve, par défaut. Comment se comporte l'approximation de l'aire sous la courbe lorsque n augmente ?

Unité 02 - Notion d'intégrale définie

Dans l'animation, tu viens de voir que la valeur exacte de l'aire sous la courbe est située entre l'approximation par défaut et l'approximation par excès. PLus le nombre de rectangles est grand (n tend vers l'infini) et plus l'erreur commise par cette approximation est proche de 0. Lorsqu'on augmente le nombre de rectangles, les limites des deux sommes qui encadrent l'aire sont égales et leur valeur est la valeur exacte de l'aire sous la courbe.Cette limite commune est appelée intégrale définie de 0 à 1 de la fonction f. Notons A, l’aire de la surface délimitée par f(x)=x², les droites x=0 et x=1 et l’axe des x Le symbole ∫ a été introduit par Leibniz au XVIIè siècle. Il représente un S stylisé, faisant référence à la Somme de tous les petits rectangles utilisés dans l'activité pour approcher l'aire sous la courbe.Pour plus de détails concernant le calcul des aires des rectangles, clique ci-dessous (math 6h). Visualiser la démarche :

Unité 02 - Notion d'intégrale définie

Dans l'animation, tu viens de voir que la valeur exacte de l'aire sous la courbe est située entre l'approximation par défaut et l'approximation par excès. PLus le nombre de rectangles est grand (n tend vers l'infini) et plus l'erreur commise par cette approximation est proche de 0. Lorsqu'on augmente le nombre de rectangles, les limites des deux sommes qui encadrent l'aire sont égales et leur valeur est la valeur exacte de l'aire sous la courbe.Cette limite commune est appelée intégrale définie de 0 à 1 de la fonction f. Notons A, l’aire de la surface délimitée par f(x)=x², les droites x=0 et x=1 et l’axe des x Le symbole ∫ a été introduit par Leibniz au XVIIè siècle. Il représente un S stylisé, faisant référence à la Somme de tous les petits rectangles utilisés dans l'activité pour approcher l'aire sous la courbe.Pour plus de détails concernant le calcul des aires des rectangles, clique ci-dessous (math 6h). Visualiser la démarche :

Unité 02 - Propriétés de l'intégrale définie

Quelles sont les propriétés de l'intégrale définie ?

Pour tester ta compréhension de la notion d'intégrale définie et des propriétés des intégrales, voici un petit quizz de 4 questions.

QUIZIntegrales définies et aires

Choisis l'intégrale qui correspond à l'aire colorée, délimitée par les fonctions données. Parfois les expressions des fonctions ne sont pas données, c'est parce que tu peux les trouver toi-même (ce sont des fonctions de référence).

PASSER LE QUIZZ

ENTRER DANS LE QUIZZ

Question 1

INCORRECT!

INCORRECT!

CORRECT

Question 2

Incorrect answer

Correct answer

INCORRECT!

CORRECT

INCORRECT!

Question 3

Correct answer

INCORRECT!

INCORRECT!

CORRECT

Question 4

Incorrect answer

Incorrect answer

Correct answer

INCORRECT!

INCORRECT!

CORRECT

Unité 03

Unité 03 - Lien intégrale définie et primitive

Quel est le lien entre intégrale définie et primitive?Une intégrale définie permet de calculer l'aire sous une courbe. Intéressant!!Mais le calcul de cette intégrale définie est compliqué : limite d'une somme...Or, le calcul d'une primitive est plus simple...Donc, cela nous faciliterait la vie s'il existait un lien entre intégrale définie et primitive!.

Une autre vidéo synthèse...

Unité 03 - Calcul d'aires au moyen de primitives

Maintenant que tu sais calculer des primitives immédiates (ou quasi immédiates), que tu connais le lien entre primitives et intégrale définie, tu vas pouvoir calculer des aires en utilisant le calcul intégral. Voici quelques types d' exercices : 1. Exercices de calcul d'aires où la fonction est tracée. Tu dois écrire l'intégrale puis la calculer. Tu sais vérifier la solution en ligne.2. Exercices où les fonctions sont tracées, tu dois écrire l'intégrale correspondant au calcul d'aires (sans faire le calcul).3. Exercices où il faut tracer une fonction, puis calculer l'aire entre des bornes (à réaliser sur feuille, mais tu peux aussi vérifier tes calculs en utilisant le logiciel Géogébra) . Ces exercices sont à envoyer à ton professeur si tu veux vérifier tes solutions.

Unité 03 - Temps d'arrêt ... je me questionne sur mes connaissances et ma méthode de travail

Si une séance de questions/réponses avec ton professeur est prévue, comment vas-tu la préparer ? - je retourne à la page qui cite les objectifs de l'unité, je les relis, - pour chaque objectif, j'associe l'exercice correspondant de la série - j'explicite la démarche suivie pour chaque type d'exercices. PUIS ... je prépare une série de questions à poser à mon professeur

Unité 04 - Intégration par parties

Tu sais calculer des primitives immédiates, quasi immédiates. Parfois, les fonctions à intégrer sont plus complexes et il faut avoir recours à d'autres méthodes d'intégration. En voici une qui s'intitule l'intégration par parties.

INTEGRATION PAR PARTIES

Exercices d'intégration par parties (sur feuilles à remettre à ton professeur)

Exercices d'intégration par parties (en ligne)

Unité 05 - Solides de révolution

Cette partie va te faire découvrir comment les intégrales peuvent aussi servir à calculer des volumes. Les solides qui vont nous intéresser ici sont des solides de révolution, c'est-à-dire des solides engendrés par la rotation d'une surface plane autour d'un axe. Dans cette unité, nous considèrons les solides engendrés par une rotation autour de l'axe des x. Certains de ces solides, dont par exemple le cylindre droit, te sont connus. Sur l'animation ci-contre, tu vas redécouvrir ces solides.

Unité 05 - Calculer un volume avec le calcul intégral

Comment le calcul intégral va-t-il te permettre de calculer les volumes de solides de révolution ? Pour le calcul d'aires, on a découpé la surface en rectangles de largeur infiniment petite (dx), dont la hauteur était donnée par la fonction. Puis on a sommé les aires de ces rectangles pour s'approcher de plus en plus de l'aire réelle, donnée par l'intégrale définie. L'idée pour les volumes est semblable. On va découper le solide de révolution en cylindres d'épaisseur de plus en plus petite (dx), dont le rayon est donné par la fonction. Puis on additionnera les volumes de ces cylindres pour s'approcher de plus en plus du volume réel, donné par l'intégrale définie.

Unité 05 - Exercices de calcul de volumes

Exercices de calcul de volumes en ligne (la fonction qui engendre le solide est tracée)

Exercices de calcul de volumes en ligne (la fonction qui engendre le solide n'est pas tracée)

Exercices de calcul de volumes (fichier à télécharger)

EXERCE-TOI À CALCULER DES VOLUMES

Félicitations!

Tu as terminé ce module d'apprentissage sur les intégrales. Tu pourras le reparcourir comme bon te semble en utilisant les retours aux différents modules et à la table des matières

Un merci tout particulier aux enseignants de Saint-Louis (Namur) pour le partage de leurs notes et de l'INDSE (Bastogne) pour le partage de leurs vidéos. Extraits issus des sites :

KHAN ACADEMY

VAN INN

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50/lore

UN DERNIER TEST RECAPITULATIF ?

code à entrer: QM7H8M