wikivladimir

IX региональный математический проект «Узы дружбы в мире чисел» Виртуальная экскурсия

Выполнила: Ученица 7 класса "В" МБОУ СОШ №1 Анисимова Виктория Руководитель: Чихачёва Надежда Юрьевна

1

2

3

4

5

Кто же такой Леонард Эйлер?

Лента времени

Вопросы, которые ждут своего решения!

Видео о Леонардо Эйлере

Какой вклад внёс Эйлер в решение вопроса о дружественных числах?

Леонард Эйлер (1707-1783) – швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внесший огромный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). За годы своей жизни издал свыше 850 работ, касающихся самых разных областей. Эйлер глубоко исследовал ботанику, медицину, химию, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Был членом многих академий наук, являясь первым российским членом Американской академии искусств и наук.

(1707)

+ info

Леонард Эйлер появился на свет (1707) Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. Он был первенцем Паулюса Эйлера и Маргареты Брукер. Отец являлся выходцем из скромного рода ремесленников, а предками Маргареты Брукер был ряд известных ученых. Паулюс Эйлер в то время служил викарием в церкви святого Якоба. Будучи богословом, отец Леонарда интересовался математикой, и в течение первых двух лет обучения в университете посещал курсы знаменитого Якоба Бернулли. Примерно через полтора года после рождения сына семья переехала в Риен, пригород Базеля, где Паулюс Эйлер стал пастором в местном приходе. Там он добросовестно и преданно служил до конца своих дней. Семья жила в стесненных условиях, особенно после рождения второго ребенка, Анны-Марии, в 1708 году. У четы появятся еще двое детей – Мария Магдалена и Иоганн Генрих. Первоначальное образование Леонард получил от отца. Любопытно, что у него достаточно рано проявились математические способности. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

+ info

Леонард Эйлер поступил в школу в Базеле (1715) Примерно в возрасте восьми лет его отправили в латинскую школу в Базеле, где он жил в доме своей бабушки по материнской линии. Чтобы компенсировать низкое качество школьного образования того времени, отец нанял частного репетитора, молодого богослова по имени Йоханнес Буркхардт, страстного любителя математики. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

+ info

Награды Леонарда Эйлера в Базельском университете (1723-1724) В 1723 году Эйлер получил (по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду. 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона, и был удостоен учёной степени магистра искусств. Леонард Эйлер

+ info

Леонард Эйлер начал посещать лекции в Базельском университете (1720) В 13-летнем возрасте талантливому ученику разрешили посещать лекции в Базельском университете. Леонард настолько хорошо и быстро учился, что на него вскоре обратил внимание профессор Иоганн Бернулли, который был братом Якоба Бернулли. Знаменитый математик заметил талантливого ученика и стал давать ему уроки, которые сводились к тому, что Леонард самостоятельно изучал какой – нибудь математический труд и раз в неделю приходил к профессору для научной беседы. В доме Иоганна Бернулли Леонард подружился с сыновьями профессора – Николаем и Даниилом, и эта дружба эта сыграла в жизни Эйлера огромную роль. Бернулли Даниил: Бернулли Николай: Через несколько месяцев подросток успешно сдал экзамены в Базельский университет на факультет искусств. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

+ info

Докторская диссертация Эйлера (1726) В 1726 году Эйлер завершил докторскую диссертацию о распространении звука. «Диссертация по физике о звуке» участвовала в конкурсе на освободившуюся должность профессора физики. Несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Леонарда сочли чересчур молодым, чтобы доверить ему профессорскую кафедру. Леонард Эйлер - выдающийся математик

(1715)

(1720)

+ info

Участие Леонарда Эйлера в конкурсе (1727) В 1727 году Леонард участвовал в ежегодном конкурсе на престижную премию Парижской академии с разработкой оптимального размещения мачт кораблей. Он занял второе место, уступив только Пьеру Бугеру. Всего за свою жизнь Эйлер выиграл эту ежегодную премию 12 раз. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

(1723-1724)

(1726)

(1727)

(1727)

+ info

Приезд Леонарда Эйлера в Санкт-Петербург (1727) Когда Эйлер получил высшее образование, два сына Иоганна Бернулли — Даниил и Николай работали в Петербургской академии. Когда в июле 1726 года Николай, проведя год в России, умер от аппендицита, Даниил, взяв на себя функции брата на кафедре математики и физики, порекомендовал Эйлера на вакантную должность по физиологии. В ноябре 1726 года Леонард согласился на это предложение, но он отказался от поездки в Россию весной следующего года — в то время он безуспешно пытался занять место в кафедре физики в университете Базеля. Он прибыл в столицу России только лишь 17 мая 1727 года. За несколько дней до приезда Эйлера в Питер скончалась царица Екатерина I. Страной стали управлять временщики, боровшиеся за власть. Судьба молодой Академии наук была неясной. Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте!

• Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения. Эту огромную работу Эйлер вел в одиночку, быстро проделывая все вычисления в уме: ведь компьютеров еще не было.
• Он расшифровывал дипломатические депеши, перехваченные русской контрразведкой. Оказалось, что эту работу математики выполняют быстрее и надежнее прочих специалистов.
• Он обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль или в бурю.
• И еще составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. Ведь в дальнем плавании Луна часто заменяла часы при определении долготы!

Только гений мог, выполняя всю эту работу, не забыть о большой науке. Эйлер оказался гением. За 15 лет своего первого пребывания в России он успел написать первый в мире учебник теоретической механики (не учить же простого студента по сложным книгам Ньютона!), а также курс математической навигации и многие другие труды. Эйлер пребывал в смятении и даже подумывал оставить любимую математику и поступить на морскую службу. Но тут судьба его облагодетельствовала: он получил в Академии кафедру физиологии, а три года спустя стал академиком по математике и теперь ничто ему не мешало ему заняться любимой наукой. Российское правительство выделило ему квартиру и определило оклад в размере 300 рублей в год. Математик сразу же начал учить русский язык, который смог освоить в сжатые сроки. Свои труды Эйлер печатал в академических «Комментариях», издававшихся на латинском языке. Бывало, что они заполняли почти весь математический раздел этого научного раздела. Известность молодого учёного быстро росла. Иоганн Бернулли в письмах обращался к своему ученику не иначе как к «ученейшему и даровитейшему мужу Леонарду Эйлеру», «несравненному Леонарду Эйлеру», «знаменитейшему и остроумнейшему математику». Биография Леонарда Эйлера

Леонард Эйлер появился на свет

Поступил в школу в Базеле

Начал посещать лекции в Базельском университете

Награды в Базельском университете

Докторская диссертация Эйлера

Участие Леонарда Эйлера в конкурсе

Приезд а Санкт-Петербург

+ info

Свадьба Леонарда Эйлера и Катарины Гзель (1734) В январе 1734 г. он женился на Катарине Гзель, дочери швейцарского художника, преподававшего вместе с Эйлером, и они переехали в собственный дом. В браке появилось на свет 13 детей, из которых, однако, лишь пятеро достигли совершеннолетия. Первенец, Иоганн Альбрехт, также стал математиком, и позже помогал отцу в его работе. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

+ info

Эйлер покинул Россию и приехал в Берлин (1741) Через некоторое время он получил предложение от Фридриха II Гогенцоллерна, в котором тот обещал должность в Прусской академии наук в Берлине. Леонард решил покинуть Россию 19 июня 1741 года. В 1744 напечатаны в Берлине три сочинения о движении светил, первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит их из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет. Когда в 1746 г. в Берлине открылась своя академия, Леонард занял должность руководителя математического отделения. Кроме этого, ему доверили следить за обсерваторией, а также решать кадровые и финансовые вопросы. Авторитет Эйлера, а с ним и материальное благополучие, с каждым годом росли. В результате, он стал настолько богат, что смог купить роскошное имение в Шарлоттенбурге. В Берлине великий математик прожил четверть века. Он написал здесь около 300 математических работ. В Берлине закончил свой знаменитый труд «Морская наука, или Трактат о строении и управлении судов», задуманный ещё в Петербурге. В Берлине Эйлер занимался всей математикой сразу, и почти все у него получалось. Например, захотелось ему перенести все методы математического анализа на функции, зависящие от комплексных чисел - и создал он теорию функций комплексного переменного. Попутно Эйлер выяснил, что показательная функция и синусоида суть две стороны одной медали. Аналогично было с Большой Теоремой Ферма. Услыхав о ней, Эйлер решил сам придумать утраченное доказательство - и вскоре обнаружил "метод спуска", найденный Ферма веком раньше. Проверив этот метод для степеней 3 и 4, Эйлер стал проверять его для следующего простого показателя - 5. Тут обнаружились неожиданные затруднения, и Эйлер оставил эту тему молодым исследователям. Но только в конце 20 века эта проблема, кажется, приблизилась к окончательному решению. В геометрии Эйлер также оставил значительный след. Он искал в ней не столько новые изящные факты, сколько общие теоремы, не укладывающиеся в догматику Евклида. Например, теорема о связи между числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Эту формулу знал еще Декарт; но он не оставил ее доказательства. Кроме 280 статей, Эйлер опубликовал множество научных трактатов. В период биографии 1744-1766 гг. он основал новый раздел математики – «вариационное исчисление». Из-под его пера вышли трактаты по оптике, а также о траекториях планет и комет. Позже Леонард издал такие серьезные труды, как «Артиллерия», «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление». В течение всех лет, проведенных в Берлине, Эйлер исследовал оптику. В результате он стал автором трехтомной книги «Диоптрика». В ней он описывал разные способы усовершенствования оптических приборов, включая телескопы и микроскопы. В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер нашел соотношение между числом вершин, ребер и граней многогранника сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение предполагал еще Декарт, но Эйлер доказал его в своих мемуарах. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии — самой глубокой части геометрии. Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 году сочинение, в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Долдонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы. В 1765 году Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твердого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твердого тела. Оставаясь почётным членом Петербургской академии наук, Эйлер продолжал активно с ней сотрудничать, по – прежнему печатал свои труды в «Комментариях». Причём, из всех работ Эйлера, подготовленных в Берлине, около половины вышли в Петербурге на средства Петербургской академии. Не случайно Екатерина II позвала Эйлера вернуться в Россию. Несмотря на большой вклад Леонарда в престиж Берлинской академии, он был вынужден в конечном итоге покинуть Берлин. Причиной стал, по крайней мере, частично личный конфликт Эйлера с Фридрихом. Леонард Эйлер - выдающийся математик Интересные факты из жизни Леонарда Эйлера

+ info

Потеря зрения на правый глаз (1735) В 1735 году он серьезно заболел и чуть не умер. К великому облегчению всех он поправился, но через три года снова заболел. На этот раз болезнь стоила ему правого глаза, что отчетливо видно на всех портретах ученого с того времени. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», — философски заметил он. Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Эйлер составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. За 25 лет жизни в России Эйлер написал более 380 статей, но только 2 свои работы он решил опубликовать «Введение в анализ бесконечно малых» и «Наставление по дифференциальному исчислению». В 1736 году, появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось. В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки. В 1840 году Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография

+ info

Возвращение Леонарда Эйлера в Россию (1766) Ситуация в России стабилизировалась после того, как Екатериной II стала императрицей. В июле 1766 году Эйлер решает вернуться в Петербургскую академию. В Петербурге Леонарда Эйлера встретили с большими почестями. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. Хотя карьера Эйлера продолжала стремительно развиваться, его здоровье оставляло желать лучшего. Катаракта левого глаза, беспокоившая его еще в Берлине, все больше прогрессировала. Великий математик Эйлер Леонард: достижения в математике, интересные факты, краткая биография Интересные факты из жизни Леонарда Эйлера

+ info

Полная слепота (1771) В Петербурге Леонарда Эйлера встретили с большими почестями. Ему сразу же предоставили престижный пост и были готовы выполнять практически любые его просьбы. Хотя карьера Эйлера продолжала стремительно развиваться, его здоровье оставляло желать лучшего. Катаракта левого глаза, беспокоившая его еще в Берлине, все больше прогрессировала. В результате, в 1771 г. Леонарду была сделана операция, которая привела к абсцессу и фактически полностью лишила зрения. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать — лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова. На этот раз — окончательно. Эйлер, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, продолжал работать, диктовать свои новые мемуары. Только с 1769 по 1783 годы Эйлер продиктовал около 380 статей и сочинений. Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной. В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой. Интересные факты из жизни Леонарда Эйлера Леонард Эйлер

(1734)

(1735)

(1741)

(1766)

(1771)

Свадьба и создание семьи

Потеря зрения на правый глаз

Покинул Россию, приехал в Берлин

Возвращение в Россию

Полная слепота

+ info

Пожар в Санкт-Петербурге (1771) Через несколько месяцев в Петербурге произошел серьезный пожар, который затронул и жилище Эйлера. Фактически ослепшего ученого чудом удалось спасти Питеру Гримму – мастеровому из Базеля. По личному распоряжению Екатерины 2, для Леонарда был построен новый дом. Несмотря на многие испытания, Леонард Эйлер никогда не переставал заниматься наукой. Когда по состоянию здоровья он уже не мог писать, математику помогал его сын Иоганн Альбрехт. Леонард Эйлер

+ info

Смерть жены (1773) В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил сорок лет. Через три года он вступил в брак с её сестрой, Саломеей Гзелль. Завидное здоровье и счастливый характер помогали Эйлеру «противостоять ударам судьбы, которые выпали на его долю… Всегда ровное настроение, мягкая и естественная бодрость, какая-то добродушная насмешливость, умение наивно и забавно рассказывать делали разговор с ним столь же приятным, сколь и желанным…» Он мог иногда вспылить, но «был не способен долго питать против кого-либо злобу…» — вспоминал Фусс. Эйлера постоянно окружали многочисленные внуки, часто на руках у него сидел ребёнок, а на шее лежала кошка. Он сам занимался с детьми математикой. И всё это не мешало ему работать! Леонард Эйлер

+ info

Смерть великого учёного (1783) Великий Леонард Эйлер умер 18 сентября 1783 г. в возрасте 76 лет. Причиной его кончины стал инсульт. В день смерти ученого на его 2-х грифельных досках были обнаружены формулы, описывающие полет на воздушном шаре. В скором времени в Париже на шаре совершат свой полет братья Монгольфье. Вклад Эйлера в науку являлся настолько масштабным, что его статьи исследовались и печатались на протяжении еще 50 лет после кончины математика. Леонард Эйлер

(1771)

(1773)

(1783)

Пожар в Санкт-Петербурге

Смерть великого учёного

Смерть жены

1) Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо (что гораздо реже) из двух нечетных. • Но никто не доказал, что не существует дружественной смешанной пары. • Брэтли и Мак-Кэй выдвинул гипотезу, что все нечетные дружественные числа кратны 3, а сумма чисел, образующую дружественную пару, кратна 9.

2) Также никто еще не предложил общей формулы для всех дружественных пар, и неизвестно, конечно или бесконечно число таких пар. • Неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа. Но, если такая пара дружественных чисел существует, их произведение должно быть больше 1067.

3) В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов — замкнутых циклов из трех и более звеньев цепочки. • Например, в тройке чисел 1 945 330 728 960, 2 324 196 638 720, 2 615 631 953 920 делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго — третье число, а делители третьего — первое.

4) В 1918 году французский математик П. Пуле нашел цепочку из пяти звеньев (12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264) и поразительную цепочку из 28 звеньев (28 — совершенное число), которая начинается с числа 14 316. Это самый длинный из известных циклов.

Вывод: Таким образом, открытыми остаются следующие проблемы дружественных чисел: 1) Существует ли смешанная дружественная пара? 2) Конечно или бесконечно число дружественных пар? 3) Существует ли формула для нахождения всех дружественных пар? 4) Верна ли гипотеза Брэтли и Мак-Кэй, что все нечетные дружественные числа кратны 3, а сумма чисел, образующую дружественную пару, кратна 9.

?

Дружественные числа - пара чисел, из которых каждое равняется сумме своих делителей (например, 220 и 284). Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти числа замечательны тем, что сумма младших делителей каждого из них равна второму числу. Действительно: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, а 1+2+4+71+142=220 В то время существовало много попыток найти новые дружественные числа, но так как те математики высокой квалификацией не отличались, то в их сочинениях присутствовали такие записи:

"Чтобы добиться взаимности в любви ,нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому". Каждое совершенное число дружественно самому себе. Первая пара различных дружественных чисел (220=1+2+4+71+142 и 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110) была известна древнегреческому ученому Пифагору (6 в. до н. э. ).

?

Большой вклад в отыскание дружественных чисел внес ученый Л. Эйлер. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000. Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди его «трофеев» оказались и пары нечетных дружественных чисел вида а · p · q и а · r где р, q, r – простые числа.

Например: (32 · 7 · 13) · 5 · 17 и (32 · 7 · 13) · 107; (34 · 5 · 11) · 29 · 89 и (34 · 5 · 11) · 2699. В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. С примерным терпением и восхитительной виртуозностью он выполняет вычисления и преподносит изумленным современникам, занимающимся той же проблемой примерно с таким же увлечением, но безрезультатно, обильную добычу: ровно 59 пар дружественных чисел. И это в короткий период – с 1747 года по 1750 год!