Math copy

Команда "Синусоида" представляет

Работа выполнена в рамках сетевого проекта "Узы дружбы в мире чисел"МБОУ "СОШ №3" г. Вязники Владимирской области2020 г.

История открытий

Галерея учёных

Итоги путешествия

География открытий

Свойства совершенных чисел

Интересный факт

Это интересно!

Наш кинозал

Источники

Интересный факт

Приглашаем в путешествие! Предлагаем вашему вниманию историю изучения и поиска совершенных чисел. Изучив различные литературные источники и интернет-ресурсы, мы пришли к выводу о том, что совершенные числа привлекали многих учёных. Изучением этих чисел занимались с древних времён. Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В своих доказательствах Евклид использует формулу суммы членов геометрической прогрессии. Далее изучением этих чисел стали заниматься европейские математики. Именно они добились наиболее больших успехов в открытии этих чисел. И всё благодаря французскому математику Марену Мерсенну, который пытался найти связь между простыми и совершенными числами.

Леонард Эйлер сумел научно обосновать знания о таинственных числах. Весомый вклад в изучение и открытие совершенных чисел внёс Иван Михеевич Первушин — российский священник и математик. В начале двадцатого столетия появились первые механические счётные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Появление ЭВМ значительно облегчило вычисление больших чисел. В этом направлении наиболее успешными стали американские математики.

ЭВМ

Счётный прибор - абак

Механическая счётная машина

Древнегреческие математики: первое доказательство и гипотезы

Простые числа Марена Мерсенна и его предсказания

Научно обоснованная теория Эйлера для чётных совершенных чисел

Числа Мерсенна помогают компьютерному поиску

Открытые проблемы в теории чисел

Таким образом, мы выделили несколько критериев истории поиска совершенных чисел и их открытия. Это следующие критерии: временные периоды, география открытий чисел и критерий, основанный на доказательстве. Именно последний критерий считаем основным в теории поиска совершенных чисел.

Древнегреческие математики: первое доказательство и гипотезы История совершенных чисел восходит к глубокой древности. Ими интересовались пифагорейцы, которые стремились выразить на языке чисел всё на свете, включая понятия справедливости и совершенства. Пифагорейцем было известно только два совершенных числа – 6 и 28. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде 2^(p-1)∙(2^p-1), где 2^p-1 – простое число, является совершенным. Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: 496 и 8128. Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел.Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат — составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. С помощью этой формулы действительно можно найти первые четыре совершенных числа. Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 5, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (2^11 — 1)·2^10, но это не так, потому что 2^11-1 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу. Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (2^13 — 1)· 2^12 = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр. Древние математики также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно 8 589 869 056 и заканчивается на 6. Но не все предположения древних учёных оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут чётными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Ссылка на источник Математика для школы

Простые числа Марена Мерсенна и его предсказания Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа. Формула Евклида помогла открыть пятое совершенное. Оно было обнаружено лишь в ХV веке. Пятое совершенное число равно 33 550 336. В формуле Евклида ему соответствует p = 13. Его обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVII веке французский математик Марен Мерсенн предположил, что следующие шесть совершенных чисел также должны удовлетворять формуле Евклида со значениями p, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Доказано это не было. Мерсенн никак не мог проверить своё утверждение непосредственными вычислениями. Вычислить любое из чисел было нетрудно, но выяснить, простые это числа или нет, не представлялось возможным. Тогда так и осталось неизвестным, прав Мерсенн или нет. Позднее было обнаружено, что итальянский математик Катальди тоже занимался поиском совершенных чисел. В его записках были указаны шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328, найденные почти за сотню лет до Мерсенна. Оказалось, что оба эти числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн. Оказалось, что не все предсказания Мерсенна были правильными. Он правильно предсказал значение p =127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными со значениями p = 61, p = 89 и p = 107. Математикам удалось найти метод, с помощью которого, не производя прямых вычислений, можно установить, является ли число 2^р −1, где p — простое число, простым или нет. Ссылка на источник Математика для школы

Научно обоснованная теория Эйлера для чётных совершенных чисел В XVIII веке Леонард Эйлер сумел доказать теорему о загадочных и таинственных совершенных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. И все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Эйлер доказал, что первые три числа из указанных Мерсенном: 2^17-1, 2^19-1, 2^31-1, — действительно являются простыми. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует p = 31 в формуле Евклида, равно 2 305 843 008 139 952 128. Ссылка на источник Математика для школы

Числа Мерсенна помогают компьютерному поиску Поиски совершенных чисел продолжаются и в настоящее время. В начале ХХ столетия появились механические счётные машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры. В 2016 г. Кертис Купер совершил свое открытие в рамках международного проекта GIMPS. Он открыл новое наибольшее из известных науке простое число. Оно равно 2^74207281-1 и содержит 22 338 618 цифры. В качестве алгоритма, по которому вёлся поиск числа, было применено традиционное для этой задачи решение, впервые использованное ещё Мареном Мерсенном. Именно благодаря этому алгоритму ученые находят уже 15 подобное число подряд. На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающих из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределённых вычислений GIMPS. Ссылка на источник Планета сегодня

Открытые проблемы в теории чисел Сегодня, с помощью компьютерной техники математики находят всё новые совершенные числа. По своей величине они колоссальны. Но всё же, в некотором смысле, мы всё там же где Никомах и Евклид. Вот некоторые проблемы, к решению которых так и не смогла подойти современная математика.

1. Неизвестно является множество совершенных чисел конечным или бесконечным.
2. Вопрос о существовании нечётных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 101500; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.
3. Неизвестно также конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.
4. Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна и неизвестна плотность их распределения во множестве натуральных чисел.
5. Серьезная проблема: при каких простых n числа (2n – 1) являются простыми (а числа 2n – 1 (2n – 1), соответственно, – совершенными). Этой проблемой занимались многие математики, в том числе Марен Мерсенн, по имени которого числа вида (2n – 1) называются «числами Мерсенна». Мерсенн заявил (но не доказал), что простыми будут числа вида (2n – 1), соответствующие n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257. А составными будут числа, соответствующие всем остальным n до 267. Однако в случаях n = 67 и 257 он ошибся: это было обнаружено только в XX в. В настоящее время обнаружено (с помощью компьютеров) больше 30 совершенных чисел; начиная с 34-го они соответствуют семизначным n. Развитой теории на эту тему пока не существует, известно только несколько общих закономерностей. Ссылка на источник Нерешённые проблемы теории чисел

Пифагор

Пифагор Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей 1 + 2 + 5 = 8 < 10, так что делителей «недостаток». Для 12 же 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число. Пифагорейцем были известны два совершенных числа: 6 и 28. Ссылка на источник ВикипедиЯ

Евклид Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2^(р-1) и 2^р – 1, где 2^р – 1 – простое число, является совершенным числом. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Это числа 496 и 8128. Ссылка на источник Математика для школы

Явмлих Античный философ Ямвлих в трактате "Изложение пифагорейского учения" без всяких дальнейших пояснений сообщает о том, что, кроме указанных Евклидом, никаких других чётных совершенных чисел быть не может. Ссылка на источник ВикипедиЯ

Никомах Герасский Никомах Герасский описывает алгоритм и приём построения чётных совершенных чисел. Ссылка на источник ВикипедиЯ

Региомонтан (подлинное имя — Иоганн Мюллер) Пятое совершенное число 33550336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). Оно также подчиняется условию Евклида. Ссылка на источник Математика для школы

Марен Мерсенн Мерсенн исследовал числа вида 2^п -1. Эти числа примечательны тем, что некоторые из таких чисел являются простыми при больших значениях n. Простые числа Мерсенна тесно связаны с совершенными числами. Мерсенн, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями п равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Ссылка на источник ВикипедиЯ

Пьетро Антонио Катальди В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, и 137 438 691 328 – седьмое число. Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. Навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. Ссылка на источник ВикипедиЯ

Леонард Эйлер Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в 1772 году Эйлер, найдя простое число 2^31 − 1 = 2 147 483 647. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Ссылка на источник ВикипелиЯ

Эдуард Люка В 1878 году француз Эдуард Люка вывел критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2^р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.Ссылка на источник ВикипедиЯ

Деррик Генри Лемер В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2^р-1, где р = 257. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счётными приборами, но в результате он убедился, что это число составное.Ссылка на источник ВикипедиЯ

Иван Михеевич Первушин Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин. Он считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр. А ещё он сумел вычислить для того времени самое большое простое число. Его так и назвали - число Первушина.Ссылка на источник ВикипедиЯ Ссылка Духовенство русской православной церкви в XX веке

Рафаэль Митчел Робинсон В 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон в Калифорнийском университете применил электронную счётную машину для изучения простоты чисел 2^р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2^257– 1 не является простым. При этой проверке присутствовал Лемер, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Новое совершенное число машина обнаружила 30 января. Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр. Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Ссылка на источник Математика для школыСсылка на источник ВикипедиЯ

Ханс Ивар Ризель Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем. Используя компьютер BESK, он за пять с половиной часов установил простоту числа 2^3217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число: 2^3216 • (2^13217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр.Ссылка на источник ВикипедиЯ

Кертис Купер В 2016 г. Кертис Купер совершил открытие в рамках международного проекта GIMPS. Математик из Центрального университета Миссури в городе Уорренсберг открыл новое наибольшее из известных науке простое число. Оно равно 2^74207281-1 и содержит 22 338 618 цифры. В качестве алгоритма, по которому вёлся поиск числа, было применено традиционное для этой задачи решение, впервые использованное ещё Мареном Мерсенном. Именно благодаря этому алгоритму ученые находят уже 15 подобное число подряд. Ссылка на источник Планета сегодня

• Евклид описал алгоритм построения чётных совершенных чисел в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число вида 2р-1∙(2р – 1), является совершенным. Полученный Евклидом результат порождает новую проблему. Для каких чисел р число 2р – 1 простое?
• Мерсенн изучал числа вида 2р-1 , которые являются простым и помогают в открытии следующих совершенных чисел. Но при каких р числа будут простые – ответ не нашёл.
• Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Евклид Древнегреческий математик. III век до н. э.

Марен Мерсенн Французский математик. 1588 —1648

Леонард Эйлер Швейцарский, немецкий и российский математик и механик. 1707-1783

Ханс Ивар Ризель - Швеция

Люка Франсуа Эдуард Анатоль - Франция

Евклид - Греция

Никомах Герасский - Греция

Ямвлих - Греция

Пифагор - Греция

Иоган Эфраим Шейбель - Германия

Региомонтан - Германия

Леонард Эйлер - Швейцария

Марен Мерсенн - Франция

Катальди Пьетро Антонио - Италия

Первушин Иван Михеевич - Россия

Лемер Деррик Генри - Америка

Рафаэль Митчел Робинсон - Америка

Кертис Купер - Америка

1

2

3

4

5

Формула Евклида

Совершенные числа обладают интересными свойствами, которые можно проверить, используя формулу Евклида.

6

Свойство 2 Все совершенные числа являются треугольными. 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7; 496 = 1 + 2 + 3 + …. + 30 + 31

Свойство 1 Все совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел.

Свойство 5 Все чётные совершенные числа являются шестиугольными числами, и, значит, могут быть представлены в виде n • (2n−1) для некоторого натурального числа n. 6 = 2 • 3, n = 2; 28 = 4 • 7, n = 4; 496 = 16 • 31, n = 16; 8 128 = 64 • 127, n = 64.

Свойство 3 Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2.

Свойство 4 Сумма всех цифр совершенного числа, кроме 6, равна 1. Отсюда следует, что остаток от деления четного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. 28. 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 496. 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1; 8128. 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1; 33550336. 3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28, 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1.

Свойство 6 Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p – 1 нулей (следствие из их общего представления).

Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год

Первая версия

Вторая версия

Каким образом обычай почти у всех цивилизованных народов носить обручальное кольцо на безымянном пальце связан с понятием «совершенное число»?

Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.

Мнение специалиста по истории культуры факта Предполагают, что совершенные числа были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Известно до V века н.э. в Египте сохранялся па́льцевый счёт, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Это одно из объяснений специалиста по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце. Ссылка на источник Математика для школы

Почему для безымянного пальца не придумали названия? Другая версия связана с тем, что палец не является самостоятельным, он всегда работает в связке с другими пальцами, у него нет никаких особенностей, он ничем не выделяется, хотя без него не обойтись в ряде случаев. Несмотря на это, название ему не придумали. Точнее придумали, но в ряде народов оно не прижилось. Бытует версия, что в древности (а именно в Египте и Риме) этот палец считался связанным с венами и сердцем, а потому на него всегда надевали кольца при бракосочетаниях, в связи с чем у него есть латинское название – anularius, то есть кольцевой. Иногда его называют перстневым, потому, что на нём носят кольца и перстни. Ссылка на источник Почему для безымянного пальца не придумали названия?

Прав ли оказался Мерсенн, который сказал, что не хватит вечности, чтобы узнать, просто ли двадцатизначное число?

В 1878 г. Петербургская академия наук предложила Ивану Михеевичу Первушину решить задачу: простое или составное число 2225 + 1? Если его написать, то в нём можно насчитать более двух с половиной миллионов цифр! Первушин не заставил «заказчиков» долго ждать, через месяц он сообщил академии: число составное, ибо делится на 167 772 161. Правильность присланного ответа была подтверждена математиками Петербурга и Парижа. А спустя пять лет, в 1883 году, он нашёл одно из самых больших таких чисел: 261 – 1 = 2 305 843 009 213 693 951, то есть число Мерсенна. Это число получило название в его честь — число Первушина. Это второе по величине простое число известное на то время. Число Первушина позволяет найти девятое совершенное число 260(261-1), состоящие из 37 цифр (восьмое совершенное число состоит из 19 цифр).

Иван Михеевич Первушин открыл девятое совершенное число, состоящее из 37 цифр.

Марен Мерсенн

Математик И. И. Жогин о Первушине И. М. «До сих пор не найдено никаких указаний на то, — писал математик И. И. Жогин, — какими методами пришел Первушин к своим открытиям. По-видимому, он в высокой степени обладал той, свойственной немногим, способностью интуитивно проникать в глубокие числовые зависимости, которая в соединении с мощными формальными средствами математического исследования составляет отличительную черту крупных математиков...». Ссылка на источник Централизованная библиотечная система города Щадринска

Совершенные числа в разных культурах Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В некоторых учёных обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме было обнаружено помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии. Ссылка на источник Математика и гармония

Совершенные числа в дате рождения Л. Тостого Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число. Ссылка на источник Математика и гармония

Простые числа на службе людей В 1977 году математики из Массачусетского технологического института показали, что простые числа – идеальная база для создания шифровального ключа. Достаточно взять два больших (например, из 80 знаков) простых числа и перемножить. Получим, естественно, ещё большее, но уже составное число. Всё, что требуется для кодирования посланий – знать это большое число. А вот для декодировки, «вероятному противнику» понадобится разложить составное число на два простых сомножителя. Даже с использованием самых мощных на сегодняшний день компьютеров, на это потребуется несколько лет. Так что простые числа – это ключ к разрешению не только многих математических проблем. Не случайно они интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а теснейшим образом с ними связанные простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. практическое применение в криптографии и в создании широко используемых в информатике псевдослучайных чисел. Ссылка на источник Алгоритм средневекового монаха Мерсенна помогает открывать все новые «атомы» натурального ряда

Совершенные числа и простые числа Мерсенна

Академия занимательных наук. Теория чисел

История совершенных чисел

Связь совершенных чисел и чисел Мерсенна

Используемая литература и интернет-источники

Источники информации

3. Биографическая база данных и собрание материалов.

4. Математика для школы.

5.. Нерешённые проблемы теории чисел.

6. Почему для безымянного пальца не придумали названия?

7. Алгоритм средневекового монаха Мерсенна помогает открывать все новые «атомы» натурального ряда.

1. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю., Крафт Х., Янцен Е. Живые числа. Пять экскурсий. — М. : Мир, 1985. 2. Депман И. Совершенные числа // Квант. —1991. — № 5. — С. 13–17

8. Математика и гармония.

9. Планета новостей .

10. Свободная энциклопедия Википедия.