3 этап

3 этапСовершенный мир чисел.

Карта

Видео

Первоисточники

Дополнительное задание

Нерешенные вопросы

Ученые

3 Этап

2 Этап

1 Этап

Меню

Таким образом, основным критерием деления истории открытия совершенных чисел на этапы я выбрала эволюцию математического мышления и, как следствие, использование новых ресурсов для отыскания чисел, обладающих особыми свойствами.

3 этап "Рациональный" На данном этапе, который длится по сей день, основную нагрузку по отысканию совершенных чисел выполняют электронно-вычислительные машины.

2 этап "Системный" Наряду с обычным перебором чисел в поисках совершенных, на данном этапе предпринимаются попытки создания системы поиска, составление математической модели, позволяющей сделать работу по отысканию чисел более простой

1 этап "Интуитивный" Заметив, что некоторые числа имеют замечательное свойство являться суммой своих делителей, математики присваивают им "звание" совершенных и задумываются об отыскании всех таких чисел

Я условно разделила историю открытия совершенных чисел на три этапа:

Этап

"Интуитивный"

Совершенные числа древние греки особенно ценили. Пифагорейцы считали совершенные числа есть прекрасные образы добродетелей. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевой счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число.

Пифагорейцы

До Евклида были известны только два совершенных числа. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. 496 и 8 128 (3 век н.э.)

Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду. Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым т. н. простые числа Мерсенна.

Деятельность Евклида

Приблизительно в 100 году н.э. Никомах написал знаменитое "Введение в арифметику", в котором классифицировал числа, как и Пифагор, основываясь на идее совершенных чисел: избыточные, недостаточные и совершенные.

"Введение в арифметику" деятельность Никомаха

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28.8 людей и 7 пар чистых и животных спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Сумма спасшихся равна 28.Руки человека имеют 10 пальцев с 28 фалангами.Луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней.В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов.

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Шестое место на званом пиру отводили самому уважаемому, самому знаменитому, самому почётному гостю. В библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней. В Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число.Среди совершенных чисел, нет более совершенного чем «6», поскольку оно первое среди них.

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал: Совершенные числа красивы. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Первые совершенные числа

Этап

"Системный"

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан лишь в XV веке, Пятое совершенное число 33 550 336 было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Пятое совершенное число равно 33 550 336

Деятельность Региомонта

В ХII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое совершенное число, уготовано вечное блаженство. Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел: 8 589 869 056 – шестое число 137 438 691 328 – седьмое число. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, а позднее Мерсенном, оказались верными.Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует p = 31 в формуле Евклида, равно 2 305 843 008 139 952 128.

Деятельность Пьера Антонио Катальди

Французский математик Марен Мерсенн предсказал, что многие числа, описываемые формулой «два в степени p минус один», где p - простое число, также являются простыми. Ему удалось доказать, что p =17, p =19, p =31: Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128. являются совершенными. Уже позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа p =17, p =19 нашел итальянский математик Катальди.

Первый, кто предсказал совершенные числа

Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом: 2 p–1 · (2 p – 1), и только такой.

Новая теорема совершенных чисел

Француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Критерий числа

Вычислив девятое совершенное число, И. М. Первушин поистине совершил подвиг. Мерсенн в своё время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, а в его числе оказалось 37 цифр

Деятельность Первушина Ивана Михеевича

Этап

"Рациональный"

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 · 288. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году: 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2106.Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2126 · (2127-1). В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

Деятельность Деррика Генри Лемера

Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд.

30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2р – 1.

Создание счетной машины

Четырнадцатые и последующие совершенные числа были открыты вычислительными машинами. Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа.

Деятельность Ханса Ивара Ризеля

Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел?

Пытаются ли цифры что-то сказать нам или замеченный порядок случаен?

Вопрос 5

Вопрос 4

Нерешенные вопросы

Существует ли нечётное совершенное число?

Вопрос 3

Существует ли надёжное правило, позволяющее предсказывать последнюю цифру следующего, пока не известного совершенного числа?

Вопрос 2

Какое наибольшее совершенное число?

Вопрос 1

Существуют ли простые двойные числа Мерсенна при n>7?

До 45-го совершенного числа включительно абсолютные и хронологические номера совпадали. Совпадают ли ли абсолютные и хронологические номера от 46-го до 51-го совершенного числа?

Вопрос 10

Вопрос 9

Нерешенные вопросы

Может ли случиться, что 51-е совершенное число — последнее не только из найденных к настоящему времени, но вообще из всех существующих?

Вопрос 8

Сколько еще существуют совершенных чисел?

Вопрос 7

Существует ли непарное совершенное число?

Вопрос 6

Ханс Ивар Ризель 1929–2014

Рафаэль Митчел Робинсон 1911–1995

Деррик Генри Лемер 1905–1991

Иван Михеевич Первушин 1827-1900

Эдуард Люка 1842–1891

Леонард Эйлер 1707-1783

Марен Мерсенн 1588-1648

Катальди Пьетро Антонио 1548-1626

Региомонтан 15 век

Евклид около 300 лет до н.э.

Никомах Геразский 2 век н. э.

Пифагор 570-490гг. до н.э.

Ученые

Число 6 – первое совершенное число рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

Дополнительное задание

«Каким образом обычай почти у всех цивилизованных народов носить обручальное кольцо на безымянном пальце связан с понятием «совершенное число»?»

То, что высказывание Мерсенна не выдержит проверку временем, стало бы неоспоримым в эпоху создания электронно-вычислительных машин, с помощью которых за 100 лет было открыто совершенных чисел больше, чем за 2000 лет до их изобретения. Но опроверг предположение Мерсенна с помощью карандаша и бумаги уже в 1883 году наш соотечественник, сельский священник Первушин И. М. Иван Михеевич вычислил девятое совершенное число, состоящее из 37 цифр.

Дополнительное задание

«Прав ли оказался Мерсенн, который сказал, что не хватит вечности, чтобы узнать, просто ли двадцатизначное число?»

Видео о совершенных числах

http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html
http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_39_7586.pdf
http://www.filosofa.net/referat-497-3.html
https://school-science.ru/5/7/35603
https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенное_число
В работе использованы картинки и фотографии по запросу "Поиск картинки" в Internet.
http://kvant.mccme.ru/1991/05/sovershennye_chisla.htm
https://science-start.ru/ru/article/view?id=1094
https://www.evro-butik.ru/aksessuary-i-dekor-veschejj/chto-takoe-sovershennye-chisla-v-matematike-sovershennye-chisla/
https://nsportal.ru/user/16979/page/zanimatelnaya-matematika

Первоисточники

3 этап

More creations to inspire you

SANTIAGOVR_EN

WWII TIMELINE WITH REVIEW

BLENDED LEARNING

TAKING A DEEPER DIVE

WWII JUNE NEWSPAPER

AUSSTELLUNG STORYTELLING

HISTORY OF THE EARTH

Transcript