wikivladimir

СОВЕРШЕННЫЙ МИР ЧИСЕЛ

История совершенных чисел от древности до наших дней

Выполнила:Ученица 7 класа "В"МБОУ СОШ №1Анисимова ВикторияРуководитель:Чихачёва Надежда Юрьевна

IX региональный математический проект «Узы дружбы в мире чисел» Виртуальная экскурсия

ОГЛАВЛЕНИЕ

История совершенных чисел

Что такое совершенное число?

Лента всех учёных

Вопросы нерешенные до сих пор

Что такое совершенное число?

Совершенное число - натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Примеры:

1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6. 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28. 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496. 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

Лента всех учёных

аббат Алкуил (ок. 735 - 804)

Никомах Герасский (I–II век н.э.)

Эвклид (III в. до н. э.)

Региомонтан (1436–1476)

Марен Мерсенн (1588–1648)

Пьетро Антонио Катальди (1548–1626)

Леонард Эйлер (1707–1783)

Эдуард Люка ( 1842–1891)

Иван Михеевич Первушин (1821–1900)

Деррик Генри Лемер (1905–1991)

Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995)

История совершенных чисел

С 3 в. до н. э. до 12 в. до н. э.

С 13 в. до 17 в.

С 18 в. до 21 в.

История совершенных чисел с 3 в. до н. э. до 12 в. до н. э.

Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел.

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное.

В восьмой книге «Государства» Платон, объясняя переход от аристократии к тимократии, как бы невзначай говорит о «брачном числе», утрата знаний о котором приведет к тому, что станут приходить «не те души»: станут рождаться дети, не обладающие должными достоинствами.

История совершенных чисел 13 в. до 17 в.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336,

Еще через двести лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Позднее было обнаружено, что итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число,и 137 438 691 328 – седьмое число.

История совершенных чисел с 18 в. до 21 в.

Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном: 217 – 1, 219 – 1 и 231 – 1 – действительно являются простыми. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно 2 305 843 008 139 952 128.

Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

История совершенных чисел с 18 в. до 21 в.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2p – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 · 260. Первушин, вычислив девятое совершенное число, поистине совершил настоящий подвиг. Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр!

В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

История совершенных чисел с 18 в. до 21 в.

Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 23217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число: 23216 · (213217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр. Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три.

Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление.

Карта

Вопросы, которые до их пор остались нерешенными:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число? 2) Существует ли нечетное совершенное число? 3) Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? 4) Почти совершнными числами являются все натуральные степени числа 2? Существуют ли другие почти совершенные числа? 5) Существуют ли нечётные странные числа? 6) Остается открытый вопрос об асимптотике чисел Мерсенна? 7) Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна и неизвестна плотность их распределения во множестве натуральных чисел? 8) Существуют ли простые двойные числа Мерсенна при n>7?

Спасибо за внимание! До новых встреч!