Совершенные числа 1

Экскурсия "Совершенный мир чисел"

Таинство прекрасных чисел

Команда "Мозаичный тетраэдр" МБОУ СОШ №2 им. В.Н. Кубасова город Вязники Владимирская область

Информационные источники

Вклад людей в нахождение таких чисел

История совершенных чисел

Понятие совершенных чисел

Содержание

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного. Никомах Герасский (I–II век н.э.)

Числа, равные сумме всех своих делителей, особенно ценились ещё в древние века и назвались совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Но известно, что вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число.

1. Понятие совершенных чисел

Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Этим и объясняется специалистами по истории культуры факт, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

История совершенных чисел.

История совершенных чисел уходит далеко вглубь времени. Для удобства её изучения рассмотрим продвижения в этой сфере в хронологическом порядке. Это покажет нам несомненное развитие и прогресс человечества с включением в его жизнь научно-технического прогресса.

Хронология этапов изучения совершенных чисел

Хансом Иваром Ризелем (1929–2014)

Деррик Генри Лемер (1867-1938)

Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995)

Иван Михеевич Первушин (1821–1900)

Эдуард Люка (1842–1891)

Леонард Эйлер (1707–1783)

Пьетро Антонио Катальди (1548–1626)

Марен Мерсенн (1588–1648)

Региомонтан (1436–1476)

Аббат Алкуин (ок.735–804)

Евклид (III век до н.э.)

Люди, которые занимались поисками совершенных чисел.

Известно, что первое упоминание о таких числах приписывают Евклиду (III век до н.э.). Именно его принято считать родоначальником и основоположником изучения совершенных чисел. Известна так же его теорема, объясняющая способ получения совершенных чисел. Для доказательства этого своей теоремы Евклид использовал формулу суммы членов геометрической прогрессии Теорема Евклида. В тех случаях, когда число 2n – 1 — простое, число 2n–1 • (2n – 1) является совершенным. С этого и начинается поиск совершенных чисел.

Теорема Евклида

Первым совершенным числом, о котором стало известно математикам Древней Греции, было число 6.В связи с этим числу 6 придавалось особое значение: самый почётный гость сидел на 6 месте, а в Библии считается, что Бог создал мир за 6 дней. Изучению этого числа уделяли внимание многие великие учёные, такие как Платон (V–IV век до н.э.) и Никомах Герасский (I–II век н.э.), состоявший в союзе пифагорейцев.

6 = 1 + 2 + 3

Никомах Герасский (I–II век н.э.)

Платон (V–IV век до н.э.)

Следующим известным совершенным числом, стало число 28. Что интересно, здание неопифагорейской академии наук включало в себя 28 келий, и в ней состояли двадцать восемь членов. Эта традиция сохранилась и до наших дней. Многие ученые общества имели ровно 28 членов.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Продолжительное время были известны только эти два совершенных числа. Никто не знал, сколько таких чисел существует ещё, и существует ли вообще. Людям хотелось узнать, существуют ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Усердные поиски, не приводящие к успеху привели к признанию божественности этих удивительных чисел. Великий Евклид не переставал трудиться над поиском прекрасных чисел и с помощью своей теоремы.

Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2 p–1 и 2 p – 1, где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, – Если в эту формулу 2p–1 • (2p – 1) подставить p = 2, то получим 22–1 • (22 – 1) = 21 • (22 – 1) = 2 • 3 = 6 – первое совершенное число, а если p = 3, то 23–1 • (23 – 1) = 22 • (23 – 1) = 4 • 7 = 28 – второе. Благодаря этому удалось найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа: 25–1 • (25 – 1) = 24 • (25 – 1) = 16 • 31 = 496 и 27–1 • (27 – 1) = 26 • (27 – 1) = 64 • 127 = 8 128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа Аббат Алкуин (ок.735–804) даже был убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю.

Аббат Алкуин (ок.735–804)

33550336

33 550 336, ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида. Лишь в XV веке немецкий математик Региомонтан смог обнаружить пятое совершенное число. Оказалось, что и оно удовлетворяло формуле.

Региомонтан (1436–1476)

Только спустя двести лет истории изучения совершенных чисел Марен Мерсенн французский богослов и математик без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Его современникам было совершенно ясно, что Мерсенн не имеет никаких доказательств этому, ведь ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Но выяснить, простые все эти числа или нет, было не под силу человеку. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет.

Марен Мерсенн (1588–1648)

Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн: 216 • (217 – 1) и218 • (219 – 1). Но оставалось еще не доказанным, действительно ли эти числа являются совершенными; для этого необходимо, чтобы множители217 – 1 и 219 – 1 были простыми.

Позднее было обнаружено, что в записках итальянеца Пьетро Антонио Катальди были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, и137 438 691 328 – седьмое число.

Пьетро Антонио Катальди (1548–1626)

Леонард Эйлер (1707–1783)

Непревзойденный швейцарский математик, Леонард Эйлер сумел найти новую теорему о прекрасных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом: 2 p–1 • (2 p – 1),и только такой. Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном: 217 – 1, 219 – 1 и 231 – 1 – действительно являются простыми.

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин. Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2p – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 • 260.

Иван Михеевич Первушин (1821–1900)

Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. Катальди навсегда унёс собой тайну нахождения этих чисел. Многие и до сих пор считают это помощью божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклидаравно 2 305 843 008 139 952 128. В течении целого века это число считалось наибольшим из совершенных.

Но в 1878 году француз Эдуард Люка дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Эдуард Люка (1842–1891)

В начале двадцатого столетия, в 1911 году, с появлением и распространением вычислительной техники удалось найти десятое совершенное число. было найдено в, в нем оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 • 288. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году: 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 • 2106. Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2126 • (2127-1).

Заслуги машин

Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2р – 1. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер был приятно удивлён, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2520 • (2521 – 1) при p = 521. Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число 2607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число2606 • (2607 – 1) ) при р = 607. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр.

Деррик Генри Лемер (1867-1938)

Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995)

Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа 21279 – 1 и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр: 21278 • (21279 – 1) при р = 1279. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовских простых числа: 22203 – 1 и 22281 – 1и вычислила два соответствующих совершенных числа: 22202 • (22203 – 1) при р = 2203, состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и 22280 • (22281 – 1) при р = 2281, в котором 1373 цифры.

Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем. При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 23217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число:23216 • (213217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр.Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно 4 253, 4 423, 9 689, 9 941 и 11 213. Совершенное число2 11 212 • (2 11 213 – 1) имеет 3 376 цифр.

Хансом Иваром Ризелем (1929–2014)

Обнаружению такого огромного количества совершенных чисел человечество, конечно, обязано вычислительным машинам. Неизвестно, сколько ещё чисел люди бы нашли вручную. Итак, на 2013 год известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. Однако, по словам немецкого математика Эдмунда Ландау (1877–1938):"...Две проблемы остаются нерешенными до сих пор: – Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел? – Не знаю. – Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? – Я даже не знаю, существует ли одно такое число."

Имеется гипотеза, что в ряду чисел за каждым совершенным числом встретится ещё большее совершенное число, иными словами, совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел — это и есть нерешённый до сих пор вопрос. Никто не знает, есть вообще решение этому. Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а связанные с ними простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. Также не могут найти хотя бы одно нечётное совершенное число.

1. http://math4school.ru
2. http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--
3. https://lektsii.org
4. http://ru. www. e-osnova.ru
5. Википедия — свободная энциклопедия, Интернет https://ru.wikipedia.org
6. Корнеев А.А. «Познание чисел – «вмещением». Глобальный принцип Улама & Ко (гипотеза)» М. 2007-2008.
7. «Энциклопедический словарь юного математика» Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 2005.
8. Школьная энциклопедия «Математика. Том 11». Издательство «Аванта+»., М. 2007.

Информационные источники

Спасибо за внимание!