Пифагор Самосский

2020 г.

Экскурсия "Современный мир чисел"

Сетевой проект "Узы дружбы в мире чисел"

Балашов Илья,ученик 8 класса МБОУ ООШ №3 г. Камешково, руководитель Павлова Н.В.

Источники

Видео

Видео

Великие о совершенных числах

Поиски продолжаются

2000 лет быстрым шагом

Поиск совершенных чисел (стр. 4).

Поиск совершенных чисел (стр. 3).

Поиск совершенных чисел (стр. 2).

Поиск совершенных чисел (стр. 1).

Карта

Нерешённые вопросы математики

Этапы открытия

Определение совершенных чисел

Меню

Мир полон загадок и тайн, но разгадать их могут только пытливые!

Определение совершенных чисел

Античные математики рассматривали вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называются собственными. Числа, имеющие много собственных делителей, назывались избыточными, а имеющие мало, – недостаточными. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так например: для 10 сумма делителей 1 + 2 + 5 = 8 < 10, так что делителей «недостаток». Для 12 же 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число. Встречается и случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6 1 + 2 + 3 = 6. То же для 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Такие числа назвали совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте.

Информация

Этапы открытия совершенных чисел

1 Этап. История совершенных чисел в античное время.До открытия Евклида были известны только два совершенных числа 6 и 28 . И никто не знал существуют ли ещё такие числа. Евклид, благодаря своей формуле смог найти ещё два числа 496 и 8128. И почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре числа.2 Этап. Поиск совершенных чисел в эпоху позднего средневековья.15-17 века ознаменовались чередой открытий в истории совершенных чисел. Выдающиеся учёные средневековья смогли внести весомый вклад в математику, благодаря которому количество открытых совершенных чисел увеличилось.3 Этап. Совершенные числа в Новое время.Только в 1883 году было выявлено 9 совершенное число. Этот подвиг совершил священник с Урала - Иван Первушин.4 Этап. История совершенных чисел в Новейшее время.В первой половине 20 века появились первые счётные машины. Это ускорило поиски новых совершенных чисел. А в середине 20 века появились ЭВМ, теперь стало возможным производить расчёты выходящие за пределы человеческих возможностей.

История совершенных чисел от древности до наших дней

Рисунок Балашова Ильи

В настоящее время остаются нерешёнными ряд вопросов, касающиеся совершенных чисел:1. Существуют ли нечётные совершенные числа?2. Конечно ли множество нечётных совершенных чисел?3. Конечен ли ряд чётных евклидовских совершенных чисел ?4. Какое самое большое чётное совершенное число?5. Совпадают ли абсолютные и хронологические номера совершенных чисел после 45 совершенного числа?6. Если и существуют нечётные совершенные числа то можно ли их найти с помощью чисел Мерсенна?7. Сущёствует ли зависимость между номером числа Мерсенна и его величиой?8. Существуют ли другие простые числа Мерсенна меньшие известного наибольшего?

Title 1

Title 1В

Нерешённые вопросы математики

Имена математиков, которые внесли вклад в открытие совершенных чисел

В 16 веке немецкий учёный Шейбель нашёл ещё два совершенных числа - шестое и седьмое. Они соответствуют p=17 и p=19 и равны 8 589 869 056 и 137 438 691 328.

Немецкий математик Региомонтан в XV веке. обнаружил пятое совершенное число. Оказалось, что и оно подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в 15 веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336,ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Евклид дал первое научное утверждение о совершенных числах.В своём главном труде "Начала"он изложил формулу получения совершенных чисел.Евклид смог доказать ,что если простое число имеет вид , то число — совершенное.

В поисках совершенных чисел

Евклид

Региомонтан

Иоган Шейбель

Пьетро Антонио Катальди тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, и 137 438 691 328 – седьмое число. . .

Марен Мерсенн заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Сам Мерсенн никак не мог проверить вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет.

Марен Мерсен

Катальди Пьетро Антонио

В поисках совершенных чисел

В поисках совершенных чисел

Девятое совершенное число было вычислено в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот подвиг совершил Иван Первушин .он доказал что , при р=61: 2305843009213693951- простое число, и соответствующее ему совершенное число

Иван Первушин

Эдуард Люка дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Эдуард Люка

Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанный Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны; 67 и 257 не верны. Р=17,8589869156 (шестое число) Р=19,137438691328 (седьмое число) Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).

Леонард Эйлер

В поисках совершенных чисел

Рафаэль Робинсон

В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида , где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: . Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

30 января 1952 года Рафаэль Робинсон применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел . Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила 30 января: при p = 521. Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр.

Деррик Лемер

Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года математиком Хансом Иваром Ризелем. При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа и получил восемнадцатое совершенное число: при р = 3217. В нем около 2000 цифр.

Ханс Ивар Ризель

2 000 лет быстрым шагом

Рисунок Балашова Ильи

Поиски продолжаются

На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающих из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

51

Никомах Герасский

Аббат Алкуин

Аристотель

Великие о совершенных числах

"Человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное......"

"Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области"

"Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного."

Видео

Совершенные числа

Видео

Тройные совершенные числа

24. В работе использованы рисунки и коллаж Балашова Ильи

23. "100 человек, которые изменили ход истории" Еженедельное издание, Выпуск № 19, 2008

22. Энциклопедический словарьюного математика - М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

21. Справочник по математике для учебных заведений, Москва, наука. 1983.- 480 с.

20. Я познаю мир: детская энциклопедия: Математика, "Издательство АСТ-ЛТД", 1997.-480 с.

19. Совершенные числа

18 Совершенные числа

17. КАКОЕ ЧИСЛО ЛЕВ ТОЛСТОЙ СЧИТАЛ СЧАСТЛИВЫМ?

16 Алкуин

15. Никомах Герасский

14. GIMPS

13. Ханойские башни и Эдуард Люка

12. Уральский след в непростой истории простых чисел: И. М. Первушин и его вклад в науку

11. Hans Riesel

10. Биография и факты: Интересные факты про Евклида

9. ВЕЛИКИЕ НЕМЕЦКИЕ УЧЕНЫЕ РЕГИОМОНТАН

8. Катальди, Пьетро Антонио

7. Леонард Эйлер - швейцарец с русской душой

6. Люка, Франсуа Эдуард Анатоль

5. Школа Пифагора

4. Рафаэль М. Робинсон

3. Лемер, Деррик Генри

2. ГДЕ В ПРИРОДЕ ВСТРЕЧАЮТСЯ СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА. СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО

1. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Источники

Спасибо за внимание!