Совершенный мир чисел_Альтаир

2020

Выполнена: командой «Альтаир» МБОУ Фоминская СОШ Гороховецкий район Владимирская область

1. Критерий деления истории совершенных чисел на этапы
2. 1 этап "Использование абака или счет"
3. 2 этап "Применение механических счетных машин"
4. 3 этап "Расчеты с ЭВМ"
5. Вопросы, не решенные до сих пор
6. Галерея ученых
7. Обычаи, связанные с понятием «совершенное число»?
8. Прав ли Мерсенн?
9. География совершенных чисел
10. Вывод
11. Видеоматериалы
12. Интересные факты о совершенных числах
13. Источники информации

1. Использование абака или счет. 2. Применение механических счетных машин. 3. Расчеты с ЭВМ.

История чисел увлекательна и загадочна. Одними из самых таинственных стали совершенные числа. Греческий математик Никомах Геразский (Ι в. н.э.) писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются подавляющее большинство чисел, в то время как совершенных чисел немного». Историю их открытия можно разбить на этапы, основанные на том, с помощью формулы или без неё они были открыты. Но на наш взгляд более интересным критерием для деления на этапы является использование в их открытии счетных устройств: абака или счет, меха-нических счетных механизмов, электронно-вычислительных машин (ЭВМ). Именно благодаря созданию последних в середине XX века стало возможным нахождение и вычисление большинства совершенных чисел. Известен факт вычисления тринадцатого совершенного числа без ЭВМ в течение года, так велики его размеры, которое в результате не оказалось таковым. С помощью ЭВМ проверка предположения о том, является ли число совершенным, стало занимать секунды.

Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Числа называют совершенными, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6: 1 + 2 + 3 = 6, для 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Такие числа древние греки особенно ценили. Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н. э.). В его «Началах» в книге IX в теореме 36 установлен способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так: В тех случаях, когда число — простое, число является совершенным. Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского (Ι в. н.э.). Первое совершенное число - 6, при р=2. Второе - 28, при р=3. Третье - 496, при р=5. Четвертое совершенное число - 8128, при р=7. Пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436-1476) лишь в XV веке. При р = 13, число равно 33 550 336. Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записях были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел: 8 589 869 056 – шестое число, и 137 438 691 328 – седьмое число. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел.

Марен Марсенн (1588 – 1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без доказательств объявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями р равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Современники Марсенна были уверены, что сам Марсенн не мог проверить свое утверждение вычислениями, так как для этого он сначала должен был доказать, что числа 2^р – 1 при указанных р являются простыми. Вычислить сами числа несложно, но доказать, что они простые – проблемно. Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707-1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом:2^(p–1) • (2 ^p – 1),и только такой. Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном: 2^17 – 1, 2^19 – 1 и 2^31 – 1– действительно являются простыми. Восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно 2 305 843 008 139 952 128. В 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсен-на 2^р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном. В 1883 году было вычислено девятое совершенное число. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Это смог осуществить сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2^p – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 • 2^60.

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. ( См. рисунок Арифмометр Лейбница 1673 г.) Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 • 2^88. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году: 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 • 2^106. Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2^126 • (2^127-1). В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2^р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2^257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2^р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2^257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2^520 • (2^521 – 1) при p = 521.Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число 2^607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число 2^606 • (2^607 – 1) ) при р = 607. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр.

Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Она была занята в других проектах и могла использоваться для поиска совершенных чисел только эпизодически. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовских простых числа: 2^2203 – 1 и 2^2281 – 1 и вычислила два соответствующих совершенных числа: 2^2202 • (2^2203 – 1) при р = 2203, состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и 2^2280 • (2^2281 – 1) при р = 2281,в котором 1373 цифры. Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 2^3217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число:2^3216 • (2^3217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр. Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно 4253, 4423, 9689, 9941, 11213. Совершенное число 2^ 11 212 • (2 ^11 213 – 1) имеет 3 376 цифр. Только благодаря такому помощнику, как вычислительная машина, человек сумел установить, что такое огромное число является совершенным.

На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающих из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределенных вычислений GIMPS. В 2016 году математик из США Кертис Купер открыл 49-ое простое число Мерсенна, состоящее из 22 338 618 десятичных цифр. Свое открытие американский математик сделал в рамках проекта под названием GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Предыдущие 15 подобных рекордов также установлены благодаря этой инициативе. Принять участие в этом проекте может любой желающий. Для этого достаточно установить программное обеспечение с официального сайта GIMPS. Определение простоты числа производиться при помощи теста Люка-Лемера, суть которого основывается на том, что простым число Мерсенна может быть только тогда, когда член последовательности р-2 делится на это число. Чтобы найти самое большое простое число, участники проекта проверяют число с помощью полученных от сервера GIMPS простых «экспонент» р. Это действительно не первое подобное научное достижение Купера: в 2013-м году он открыл число, состоящее из 17 миллионов десятичных цифр (М5788516= 2^5788516 – 1).

История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает машина возможности человека. Немецкий математик Эдмунд Ландау (1877–1938), один из крупнейших специалистов в области теории чисел говорил: «... Две проблемы остаются нерешенными до сих пор». Нам кажется, что нерешенных вопросов, связанных с совершенными числами больше. - Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел?- Имеется ли нечетное совершенное число? - Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел?- Есть ли формула для нахождения совершенных чисел? Это удивительно, но ни одна из предложенных формул совершенных чисел не дает возможности определить следующее по порядку совершенное число. Все, что может предложить современная математика: бесконечный перебор вариантов.- Будет ли выведена формула для нахождения совершенных чисел?

Вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце. На рисунке для показа числа шесть используется левая рука. В России принято обручальное кольцо носить на правой руке. Рисунок книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год.

Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Российский священник Первушин вычислил девятое совершенное число, считая без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр! Сейчас открыты совершенные числа, содержащие миллионы знаков. Конечно, это стало возможным благодаря созданию ЭВМ.

Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Числа Мерсенна и совершенные числа долгое время были абсолютно бесполезными. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного нас ждет?

Дети о совершенных числах

6 28 496 8128

Совершенные числа и числа Мерсенна

Совершенные числа

- Первым совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость. - В библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них. - В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. - 8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным.- Руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами. - Луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней - Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

1. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. 1979. С. 57 https://edu-lib.com/matematika-2/dlya-studentov/bolgarskiy-b-v-ocherki-po-istorii-matem 2. И.Я. Депман Совершенные числа. 1961 г. http://kvant.mccme.ru/1991/05/sovershennye_chisla.htm 3. Математика для школы. Региомонтан http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html 4. Простые числа: история и факты https://habr.com/ru/post/276037/5. Викепедия Мерсенн https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD,_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%BD 6. Математика для школы. Эйлер http://math4school.ru/euler.html 7. Поисв Люка Франсуа Эдуард Анатоль http://poivs.tsput.ru/ru/Math/NumberTheory/Events/XIX/Lyuka 8. Математик Первушин http://delta-grup.ru/3/20.htm 9. Лемер https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%80,_%D0%94%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B8%D0%BA_%D0%93%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%B8 10. Робинсон http://wikiredia.ru/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BE%D0%BD,_%D0%A0%D0%B0%D1%84%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C 11. Ризель https://yandex.ru/search/site/?searchid=2055450&text=%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D1%81%20%D0%98%D0%B2%D0%B0%D1%80%20%D0%A0%D0%B8%D0%B7%D0%B5%D0%BB%D1%8C%20&web=0&l10n=ru 12. Наука и техника https://naukatehnika.com/samoe-bolshoe-prostoe-chislo-soderzhit-svyishe-22-mln-znakov.html