Want to make creations as awesome as this one?

Transcript

Команда"Девятн@шка"

https://2.bp.blogspot.com/-1NUTvOoSm9g/U9DlsxL4FpI/AAAAAAAABQw/pElHL9adfbk/s1600/%25D0%25A0%25D0%25B8%25D1%2581%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25BA12.png

Совершенный мир чисел

Экскурсия №3

Критерием деления стал способ нахождения совершенных чисел.

С появлением вычислительной техники в поиски совершенных чисел включились машины. С этого момента начинается технический этап.

Следующий этап мы назвали научным. Он обусловлен первым доказанным утверждением о совершенных числах, описанного в IX книге Начал Евклида (III век до н.э.).

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. На этом этапе были известны только два числа (6 и 28), и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть.

Мы разделили историю открытия совершенных чисел на 3 основных этапа.

Список Учёных

Нерешённыепроблемы

Видеоролики

3 ЭтапТехнический

2 ЭтапВычислительный

Содержание Экскурсии

Источники

1 ЭтапБожественный

Первые два Совершенных числа известные людям

БОЖЕСТВЕННЫЙ

Этап

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/6/69/Canal_28_Nuevo_Leon_logo_2017.pnghttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/6/69/Canal_28_Nuevo_Leon_logo_2017.png

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcRDmJis8d7RKBxhMQpUe3_MUYSpG9TJ4pPNDBe50pjSUSENwCpahttps://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcRDmJis8d7RKBxhMQpUe3_MUYSpG9TJ4pPNDBe50pjSUSENwCpa

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.

Первые два совершенных числа

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Особыми мистическими свойствами обладало число 6 в учении пифагорейцев, к которым принадлежал и Никомах. Недаром и в библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них. Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=0a689fae3fc1f06c947483b1010375ec&n=13&exp=1

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. До Евклида были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть.

Сказка про число 28

Пригласило как-то число 28 на свой день рождения всех своих делите­лей, не забыв и про себя. Первой пришла 1, затем 2, потом прибежали 4, 7 и Ц- Когда все гости собрались, то число 28 увидело, что гостей не­много. Тогда число 28 попросило позвать в гости и делителей пришедших гостей. Но единица сказала, что новые гости не придут. Чтобы уте­шить число 28, добавила: "Вы, число 28, — само совершенство! Хотя гостей у Вас собралось и немного, но если всех гостей соединить знаком "+", то получится число 28". Стали гости вспоминать, кто из чисел еще является совершенством наравне с числом 28. Оказалось, что хотя таких чисел мало, но всех их не припомнить. Действующим персонажем этой сказки является число 28, которое равно сумме всех своих собственных делителей.

Вычислительный(научный)

Этап

Первые двенадцать совершенных чисел были открыты людьми, исполь­зовавшими лишь карандаш и бумагу.

https://4.bp.blogspot.com/-HLnbqcAOqLk/V8qZL0zE2qI/AAAAAAAAAPg/6C3d-y0u6706ePtNEZMcyV4O1J_bPK-ZACK4B/s1600/Nic%25C3%25B3maco%2Bde%2BGerasa.jpg

Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик писал: Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного. Первым понятие прекрасным совершенным литературу числом, о котором делителей знали математики рождения Древней Греции, литературу было число 6. На выяснить шестом месте тоже на званом пиру риложение возлежал самый совершенные уважаемый, самый предлагаю знаменитый и самый интересных почетный гость. Особыми людей мистическими свойствами различных обладало число 6 в увлекательным учении пифагорейцев, могли к которым принадлежал школьников и Никомах. Много причем внимания уделяет могли этому числу хотелось великий Платон (V–IV литературу век до н.э.) в последнего своих «Диалогах». Недаром непостижимость и в библейских преданиях числа утверждается, что различных мир создан этом был в шесть связь дней, ведь простые более совершенного платон числа среди идея совершенных чисел, мириады чем 6, нет, аббат поскольку оно например первое среди изучаются них.

"Введе­ние в арифметику" Никомаха

Приблизительно в 100 году н.э. Никомах написал знаменитое "Введе­ние в арифметику", в котором классифицировал числа, как и Пифагор, основываясь на идее совершенных чисел: избыточные, недостаточные и совершенные. Избыточные числа Никомах сравнивал с животными, име­ющими избыток чего-либо по сравнению с обычными, например, десять ртов или десять губ, три ряда зубов, сто конечностей или слишком много пальцев на одной конечности. Недостаточные числа, напротив, сравнивал с животными, ущербными в чем-либо, например, с одним глазом, одной конечностью или конечностью с меньшим, чем пять, количеством пальцев или без языка. Никомах выдвинул ряд утверждений, хотя бездоказательно, касающихся свойств совершенных чисел. Они звучат в современной формулировке сле­дующим образом: 1) n-е совершенное число состоит из п цифр; 2) все совершенные числа являются четными; 3) все совершенные числа попеременно заканчиваются цифрой 6 или 8; 4) по формуле Евклида получаются все совершенные числа; 5) совершенных чисел бесконечно много. На самом деле утверждения 1-е и 3-е являются ложными, а справедли­вость остальных свойств до сих пор не выяснена.

https://i.pinimg.com/236x/4f/3c/11/4f3c11931f8f109e949fafaba9a6e6a1--mathematicians.jpg

Формула Эвклида

Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2 p–1 и 2 p – 1, где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, – эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида 2p–1 · (2p – 1) подставить p = 2, то получим 22–1 · (22 – 1) = 21 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6 – первое совершенное число, а если p = 3, то 23–1 · (23 – 1) = 22 · (23 – 1) = 4 · 7 = 28 – второе. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа: 25–1 · (25 – 1) = 24 · (25 – 1) = 16 · 31 = 496 27–1 · (27 – 1) = 26 · (27 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

http://math4school.ru/img/math4school_ru/magijamatematiki/sovershennie_chisla_05.jpg

Аббат Алкуин

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Пятое Совершенной число

https://science-start.ru/i/2018/5-2/gold09_fmt.jpeg

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336. В формуле Евклида ему соответствует p=13.

Эпоха Ренессанса

Ренессанс в европейской математике наступил только около 1500 года, и утверждения Никомаха о совершенных числах были приняты безогово­рочно. Выдвигались и другие "истинные" утверждения о совершенных числах. Например, Чарльз де Бовеллис , теолог и фило­соф, в опубликованной в 1509 году книге утверждал, что формула Евклида 2р-1(2р — 1) дает совершенное число для всех нечетных р. Также думал и Пачоли. Лишь в 1536 году Хадалрик Рег в своей "Арифметике" дал разложение 211 — 1 = 2047 = 23 • 89, тем самым найдя первое простое число р, для которого 2Р_1(2Р — 1) не является простым числом. Хадалрик Рег, доказав, что число 33 550 336 является пятым совершен­ным числом, показал, что первое утверждение Никомаха является ложным, так как пятое совершенное число состоит из восьми цифр. По велению судьбы за все свои заслуги, за прорыв в теории совершенных чисел Хадалрик фактически остался незаметной фигурой.

Заявление Марена Марсенна

https://alchetron.com/cdn/marin-mersenne-4e4d8de3-8c67-4add-b8a6-d4df791b5f2-resize-750.jpeg

Ещё через 200 лет француз Марен Мерсенн, математик и музыкант, друг Декарта и Ферма, заявил, что следующие шесть совершенных чисел также должны удовлетворять формуле Евклида со значениями p, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить своё утверждение непосредственными вычислениями. Вычислить любое из чисел было нетрудно, но выяснить, простые это числа или нет, не представлялось возможным. Тогда так и осталось неизвестным, прав Мерсенн или нет

Шестое и Седьмое Совершенное число

http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Cavalieri_2.jpeg

Позднее было обнаружено, что Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 137 438 691 328, найденные почти за сотню лет до Мерсенна. Оказалось, что оба эти числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpghttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg

В поисках простых чисел Мерсенна принимал участие и Эйлер. В 1732 году он нашел два "новых простых" числа p(41) и p(47), отсутствовав­ших в списке Мерсенна. Позже выяснилось, что в этом случае Эйлер был не прав.

Леонард Эйлер сумел найти новую теорему о загадочных и таинственных совершенных числах.

Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Но какой вид должны иметь нечётные совершенные числа и могут ли они вообще существовать — остаётся неизвестным и до сих пор. Эйлер доказал, что первые три числа из ука-занных Мерсенном:2117−,2119− и 2131−,— действительно являются простыми. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, а позднее Мерсенном, оказались верны-ми. И навсегда осталась в истории тайна, как они сумели их найти. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует p=31 в формуле Евклида, равно 2 305 843 008 139 952 128. В течение целого столетия это число оста-валось наибольшим из совершенных чисел. За это время математикам удалось найти метод, с помощью которого, не производя прямых вычислений, можно установить, является ли число 21p−, где p — простое число, простым или нет. Оказалось, что не все предсказания Мерсенна были правильными. Он правильно предсказал значение p=127, но числа со значениямиp=67 и p=257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными со значениямиp=61,p=89 и p=107.

Леонард Эйлер сумел найти новую теорему о загадочных и таинственных совершенных чис-лах. Он доказал, что все чётные совершенные ГРАНИМАТЕМАТИКИГРГРГРГРГРГРГРАНАНАНАНАНАНАНИИИИИИИ МАМАМАМАМАМАМАТЕТЕТЕТЕТЕТЕТЕМАМАМАМАМАМАМАТИТИТИТИТИТИТИКИКИКИКИКИКИКИСОВЕРШЕННЫЕ СОВЕРШЕННЫЕ И ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛАИ ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛАСоставитель О. А. СтароваNo 3 (39) март 201436МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!No 3 (39) март 2014ГРАНИ МАТЕМАТИКИчисла имеют вид, указанный Евклидом. Но ка-кой вид должны иметь нечётные совершенные числа и могут ли они вообще существовать — остаётся неизвестным и до сих пор.Эйлер доказал, что первые три числа из ука-занных Мерсенном:2117−,2119− и 2131−,— действительно являются простыми. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Ка-тальди, а позднее Мерсенном, оказались верны-ми. И навсегда осталась в истории тайна, как они сумели их найти.Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует p=31 в формуле Евкли-да, равно 2 305 843 008 139 952 128.

Критерий Эдуарда Люки

http://math4school.ru/img/math4school_ru/magijamatematiki/sovershennie_chisla_09.jpeg

Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

https://sun9-3.userapi.com/c845017/v845017477/178dcc/WODY9gjuS8c.jpg

В 1886 году Первузэн и Зилхоф переоткрыли этот результат.

Иван Михеевич Первушин.

Девятое совершенное число было вычислено в 1883 году. В нём оказалось 37 значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из под Перми Иван Михеевич Первушин. Он сумел вычислить самое большое для того времени простое число вида 21p− при p=61 и соответствующее ему совершенное число. Вычислив девятое совершенное число, И. М. Первушин поистине совершил подвиг. Мерсенн в своё время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов.

Технический

Этап

следующие числа будут получены с помощью хитроумных программ для компью­теров.

https://hsto.org/getpro/habr/post_images/33e/d12/214/33ed12214cd299f83551f80a7dc48e51.jpg

Появление первых счётных машин

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 · 288. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году: 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2106. Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2126 · (2127-1).

Тринадцатое Совершенное число

https://cikavy.com/img/mathematics/6MhVqwQIis4bHzb0W9zz.jpg

Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2257 – 1 не является простым. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2520 · (2521 – 1) при p = 521. Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр.

14-17 Совершенное число

https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/011e/000b1125-bca2da14/hello_html_465653a9.jpg

Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число 2607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число 2606 · (2607 – 1) ) при р = 607. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр. Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа 21279 – 1 и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр: 21278 · (21279 – 1) при р = 1279. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовских простых числа: 22203 – 1 и 22281 – 1 и вычислила два соответствующих совершенных числа: 22202 · (22203 – 1) при р = 2203, состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и 22280 · (22281 – 1) при р = 2281, в котором 1373 цифры.

Новые числа

http://math4school.ru/img/math4school_ru/magijamatematiki/sovershennie_chisla_13.jpg

Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 23217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число: 23216 · (213217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр. В 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно 4 253, 4 423, 9 689, 9 941 и 11 213. Совершенное число 2 11 212 · (2 11 213 – 1) имеет 3 376 цифр.

Наше время

На данный момент известно 51 простое число Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает машина возможности человека.

4. Нет общего метода вычисления совершенных чисел, известный сейчас алгоритм должен перебирать все числа подряд, проверяя их на совершенность. Отсутствие общего метода решения не позволяет ответить на вопрос о останове алгоритма. Если мы проверили М чисел при поиске n-ого совершенного числа – означает ли это, что его вообще не существует?

3. Каждое совершенное число имеет два номера — один абсолютный и другой хронологический. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше — неизвестность.

2. Однако имеется гипотеза, что совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел — это и есть вторая проблема.

1. Все найденные на сегодняшний день совершенные числа оказались чётными. И вот первая, простая по формулировке, но не решённая до сих пор, проблема: существуют ли нечётные совершенные числа?

Проблемы, касающиеся совершенных чисел, не решенные до сих пор

Нерешённые проблемы Совершенных чисел

Видеоролики о Совершенных числах

Совершенные числа

Доказательство связи совершенных чисел и чисел Мерсенна

https://www.youtube.com/watch?v=GTum7c8oqsQ

Write an awesome title

Euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat. Duis autem vel eum iriure.

https://www.youtube.com/watch?v=rtJVVdpeMOg

7.https://studfile.net/preview/2905472/page:6/

6.https://www.alpinabook.ru/catalog/book-348341/

5.https://naukatv.ru/articles/151

3.http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_39_7586.pdf

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенное_число

4.http://reshyzadachy.blogspot.com/2014/07/blog-post_24.html

1. http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html

Источники

1. Евклид (III век до н.э.) древнегреческий математик. Доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2 p–1 и 2 p – 1, где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, – эта теорема теперь носит его имя. 2. Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик. Описал первые четыре совершенных числа (соответствующие р=2, 3, 5 и 7) 3. Аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения. Утверждал, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. 4. Региомонтан (1436–1476), немецкий математик. Нашел пятое совершенное число равное 33 550 336, ему соответствующее значению р = 13 в формуле Евклида. 5. Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), итальянский профессор математики. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел: 8 589 869 056 (р=17) – шестое число, 137 438 691 328 (р=19) – седьмое число.

Список Учёных, изучавших Совершенные числа

6. Марен Марсенн (1588 —1648), французский математик, физик, философ и богослов, теоретик музыки. Ему удалось доказать, что совершенные числа (соответствующие p=17, p=19, p=31) являются совершенными. 7. Леонард Эйлер (1707 —1783), швейцарский, немецкий и российский математик и механик. Нашел совершенные числа, соответствующие р=41, р=47 8. Иван Михеевич Первушин. (1827 - 1900), российский священник и математик, специалист в области теории чисел. Сумел без вычислительных приборов найти совершенное число, соответствующее р=61 9. Франсуа Эдуард Анатоль Люка (1842 —1891), французский математик. Дал критерий для определения того, простым или составным является число Мерсенна, ныне известный как тест Люка-Лемера. Применяя свой метод, нашел 12-е совершенное число, соответствующее р=127. 10. Рафаэль Митчел Робинсон (1911-1995), американский математик. Используя вычислительную машину нашел совершенное число, соответствующее р=521.

Никита Курцын

Создатель экскурсии

Создатели Экскурсии №3

Зоя Пастухова

Создатель кроссворда

Спасибо за внимание!