Want to make creations as awesome as this one?

No description

Transcript

Учение о числе

Совершенные числа.

Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел (при этом делитель 1 он брал, а само число не брал). Все делители числа он складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось недостаточным а если больше — избыточным. И только в случае, когда сумма равнялась числу, его объявляли совершенным. Например, число 6 — совершенное, т.к. сумма его делителей равна 6, то есть:6=1+2+3 Всё совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Пифагореец Ямблих в своем сочинении о совершенных числах написал, что от мириады (десяти тысяц) до мириады мириад содержится лишь одно такое число. Проведённая в 19-том веке проверка показала, что совершенные числа встречаются ещё реже. Уже во времена Пифагора были найдены такие совершенные числа, как 6, 28, 496. Было даже обнаружено, как искать чётные совершенные числа(к слову сказать, ни одного нечетного совершенного числа не найдено до сих пор, хотя к поиску были подключены электронные вычислительные машины.)

Дружественные числа.

Способом складывания делителей Пифагор изображал числами дружбу — два числа называли дружественными, если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа. Числа 220 и 284 являются дружественными. Впечатляющие результаты дал поиск с помощью ЭВМ пар дружественных чисел. Сейчас известны два двадцатипятизначных дружественных числа.

Чётные числа.

Разумеется, о том, чир натуральные числа бывают чётными и нечётными, задолго до Пифагора знал любой продавец на базаре его родного острова Самоса. Ведь ему приходилось раскладывать свой товар попарно, и иногда это удавалось, а иногда яблоко, мешок муки или баран оказывались лишними. Но Пифагор стал думать о свойствах чётных и нечётных чисел. Он сложил два чётных числа и получил снова чётное. То же самое вышло, когда он сложил два нечётных числа. Наверное, такое тысячи раз случалось и у египтян, и у вавилонян, да и у греков, живших до Пифагора. Не задумывались до Пифагора и о том, почему еслиодин из множителей чётный, то и произведение окажется чётным, а если все множители нечётны, то нечётным будет и произведение. Решать эти вопросыбылодля Пифагора затруднительно. Теперь их решают так: если число чётное, то оно делится на 2. Поэтому его можно записать в виде 2n, где n — натуральное число. Значит, сумма двух чётных чисел имеет вид 2m + 2n, и поэтому её можно записать так: 2(m+n).

Нечётные числа.

Нечётное число при делении на 2 даёт остаток 1. Поэтому его можно записать в виде 2n+1. Значит, сумма двух нечётных чисел имеет вид (2m+1)+(2n+1). Чтобы доказать, что произведение двух нечётных чисел нечётно, Пифагор строил из точек прямоугольник. Т.к. снизу и сбоку есть средняя точка, то она найдётся и во всём прямоугольнике. А тогда видно, что для каждой точки прямоугольника, кроме средней, есть пара. Значит, число в прямоугольнике нечёт, то есть произведение двух нечётных чисел нечётно.

Простые числа.

Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашёл доказательство этого утверждения. Теперь легко описать роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо бы было, если бы все простые числа можно было сосчитать! Пусть их был бы миллион — всё равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, мы можем получить все остальные. Но это оказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу "Начала". И одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует. Еслибы у нас была только тысяча простыхчисел, то мы их все перемножили бы и прибавили к произведению единицу. И у нас получилось бы число, которые не могло бы быть ни простым, ни составным, так как оно не делится ни на одно из нашей тысячи простых чисел..

Составные числа.

Составным называют то число, которое имеет более двух делителей.

а

а

а

а

а