Союз пифагорейцев_Альтаир

Пифагор Самосский -философ, математик, маг

Команда "Альтаир"МБОУ Фоминская СОШГороховецкий районВладимирская область

экскурсия"союз пифагорейцев"

Содержание

География Пифагора

Видеоматериалы о Пифагоре

Галерея

Пифагор-?

Лента жизни

Школа Пифагора

Свойства чисел

6284968128

MENU

Видеоматериалы

Судьба человека по дате рождения

20.02.2020

Теорема Пифагора

Документальный фильм

Тайна Пифагора

Пифагор-?

Пифагор Самосский - греческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Читаем мы в большом энциклопедическом словаре. Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам подлинную картину его жизни, учения и достижений восстановить сложно. Однако существует множество легенд об этом древнегреческом математике и мудреце.

MENU

Лента жизни

MENU

Юность Пифагора

В учениках у Ферекида

В школе у Фалеса

В Египте

Персидский плен

Возвращение на Родину

Переезд в Кротон

Пифагорейский союз

Семья Пифагора

Гибель Пифагора

Школа Пифагора

Система знаний школы состояла из четырех разделов: 1) Арифметики – учения о числах; 2) Геометрии – учения о фигурах 3) Астрономии – учения о строении мира; 4) Музыки – учения о гармонии и теории музыки. В школе был особый распорядок дня. Вставали с восходом солнца и шли на морской берег встречать рассвет. В утренней прохладе строили планы на день. В конце дня – прогулка, морское купание, ужин и чтение. Обычно читал младший, а самый старший комментировал прочитанное. Члены союза с равным усердием заботились и о духовном, и о физическом развитии. Ритуал посвящения и жизнь членов братства были окружены множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Правила поведения, основные принципы жизни пифагорейцы объединили в моральный кодекс «Золотые стихи». 1. Беги от хитрости. 2. Отсекай огнем, железом и любым оружием от тела – болезнь, от души невежество, от утробы – роскошество, от города смуту, от семьи ссору, от всего, что есть неумеренность. 3. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений: когда идешь ко сну и когда пробуждаешься от сна. В это время требуй от себя отчета. Оцени, что сделано и что предстоит сделать. 4. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. 5. Сыщи себе верного друга: имея его, ты сможешь обойтись без богов. 6. Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова. Пифагор говорил: «Боги дали людям две благодати: говорить правду и делать добро».

MENU

MENU

Свойства чисел

Пифагоровы тройки

Таблица Пифагора

Учение о пропорциях

Открытие несоизмеримости

2

3

1

Учение о числе

4

5

Учение о числе

MENU

камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Так возникли фигурные числа: линейные числа (т. е. простые числа) — числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию, плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей, треугольные числа, квадратные числа, пятиугольные числа.

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное — нечетное наряду с такими парами, как предел — беспредельное, мужское — женское, доброе — злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего. Произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей четен. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого из них равна другому, назывались «содружественными». Как утверждают, Пифагор на вопрос, что такое друг, ответил: «Тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284». Число 284 имеет делителями числа 1, 2, 4, 71, 142. Сумма 1+2+4+71+142=220. Делителями числа 220 являются 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Сумма 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.

Числа Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или счетной доске – абаке. Числа -

Пифагоровы тройки

MENU

Задача Пифагора в современных терминах может быть сформулирована так: «решить в натуральных числах неопределенное уравнение x^2 + y^2 = z^2».

Тройка натуральных чисел (х, у, z), которая является решением данного уравнения называется пифагоровой тройкой, а прямоугольные треугольники с такими сторонами называются пифагоровыми треугольниками. Например, (3,4,5) является пифагоровой тройкой. Прямоугольный треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5, называется еще и египетским. Интересно, что площадь этого треугольника равна совершенному числу 6, а периметр равен 12 – число, которое считалось символом счастья и достатка. Пифагоровы тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются примитивными (или простейшими). Например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41) и так далее. Пифагор нашел формулы для нахождения примитивных троек, которые в современной символике могут быть записаны так: х = 2n + 1, y = 2n(n + 1), z = 2n + 2n + 1, где n- натуральное число. Перечислим свойства примитивных пифагоровых троек: Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. Следствие: В примитивной пифагоровой тройке одно число может быть четным. Свойство 2. В примитивной пифагоровой тройке (x, y, z) числа x и y не могут быть одновременно нечетными. Свойство 3. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 3. Свойство 4. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 4. Свойство 5. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 5.

Таблица Пифагора

MENU

Кроме теоретической арифметики, ставшей фундаментом современной теории чисел и оставившей ей ряд нерешенных проблем, была у пифагорейцев и другая ветвь арифметики, более близкая современному значению слова, — учение о правилах действия над числами. Этот раздел арифметики назывался у пифагорейцев логистикой (Λογιστικμ —счетное искусство). В состав логистики входили арифметические действия с натуральными числами вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия с дробями, техника вычислений на счетной доске. Хотя задачи вычислительной арифметики отвечали насущным потребностям жизни — торговле, строительству, расчету метательных орудий, логистика (искусство вычислять) по сравнению с арифметикой (наукой о числах) считалась пифагорейцами наукой второго сорта и развивалась весьма слабо. В сочинении «Введение в арифметику» неопифагорейца Никомаха Геразского (I—II вв.) описана таблица Пифагора.

Таблица умножения Пифагора стала эффективной лишь с изобретением десятичной позиционной системы счисления, когда все умножение свелось к умножению целых чисел от 1 до 9. В XV в. в Европе разгорелась борьба между «абацистами» — защитниками старой счетной доски и «алгоритмиками» — приверженцами новой позиционной системы и новой индийской («арабской») нумерации. На старинной гравюре XVI в. мы видим аллегорическое изображение этой борьбы: справа сидит Пифагор, считавшийся изобретателем абака, а слева — Боэций — римский философ VI в., которому в средневековой Европе приписывали изобретение новых цифр (на рис.). Суд в споре Пифагора и Боэция призвана вершить сама Арифметика, стоящая за ними. Однако выражение лица Пифагора отнюдь не оптимистично, и, видимо, как честный ученый, он готов признать Боэция победителем.

«Абацист» Пифагор (справа) и «алгоритмик» Боэций (слева). Гравюра из книги XVI в.

Учения о пропорциях

MENU

Характерной особенностью пифагорейского мышления было не просто стремление все измерять, постигая вещи при помощи чисел, но и соизмерять, т. е. сравнивать измеренные величины и тем самым раскрывать внутренние связи между ними. Вот почему пропорции, т. е. равенства отношений, стали изучаться пифагорейцами раньше, чем сами отношения. К этому побуждала не только пифагорейская философия «извлечения числа из вещей», но и сама жизнь и прежде всего искусство архитектуры, где пропорции во все времена играли заглавную роль. Древние пифагорейцы знали три вида пропорций: арифметическая: ; геометрическая: ; гармоническая: . Помимо обычных пропорций пифагорейцы особое внимание уделяли непрерывным пропорциям, или средним величинам, т. е. таким пропорциям, у которых средние члены совпадали ( ). Пифагорейцы не только изучали математические свойства средних, но и наполняли их глубоким эстетическим содержанием. Об этом красноречиво свидетельствует следующий отрывок из платоновского «Тимея»: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться связь, которая скрепила бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция...» Среднее арифметическое и среднее гармоническое двух величин a и d образуют с ними геометрическую пропорцию: Эта пропорция играла значительную роль в пифагорейской теории музыки, отчего ее часто называют музыкальной. Пропорции помогали пифагорейцам «извлекать числа из вещей» и щедро раскрывали перед ними свои сокровища. Возможно, что именно изучение геометрической пропорции и геометрической средней привело пифагорейцев к их главному и трагическому открытию — открытию несоизмеримости.

Открытие несоизмеримости

MENU

Открытие несоизмеримости, т. е. обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено с помощью отношения целых чисел, является наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики. Мы не знаем доподлинно, решение какой конкретной задачи привело пифагорейцев к открытию несоизмеримости. Это могло быть сделано в любом из пифагорейских учений: и в арифметике при нахождении средней геометрической чисел 1 и 2, и в геометрии при отыскании общей меры диагонали и стороны квадрата, и в музыке при попытках разделить октаву пополам, что также приводит к нахождению средней геометрической между числами 1 и 2. Как бы то ни было, но бесспорным является то, что доказательство существования несоизмеримых величин было найдено ранними пифагорейцами и к середине V в. до н. э. было широко известно. Согласно преданию, несоизмеримость открыл сам Пифагор, и это открытие долго держалось в тайне. Они стали изучать эти «неразумные» величины, которые мы сегодня называем иррациональными (от лат. irrationalis — неразумный). Так, иррациональность отношения диагонали и стороны квадрата пифагорейцы объясняли тем, что оба этих отрезка состоят из бесчисленного множества точек и поэтому их отношение сводится к отношению двух бесконечно больших целых чисел. Хотя эта мысль не выдерживает критики для геометрических объектов, находящихся в рациональных отношениях (ведь они также состоят из бесчисленного множества точек!), по отношению к иррациональным числам она является справедливой. Действительно, всякое иррациональное число можно с любой степенью точности представить в виде отношения двух целых чисел, причем, чем больше будут эти числа, тем точнее их отношение будет выражать иррациональное число.

MENU

Художественный образ Пифагора

Судьба человека по дате рождения

MENU

Тайна Пифагора

MENU

Теорема Пифагора

MENU

Документальный фильм

MENU

MENU

Здесь ранее творил мыслитель Пифагор!