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Dirigente Scolasticoprof.ssa Rosanna Petruzzi

Modelli matematicisostenibili con aproccio al COVID-19

Coordinatriceprof.ssa Rosaria Trisolino

Modelli matematici sostenibili con aproccio al COVID-19

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Sostenibilità

Lo sfruttamento sostenibile è il prelievo di una risorsa naturale in modo da non compromettere la capacità di rigenerarsi della risorsa stessa. Nella realtà si ha sovrasfruttamento e si osserva irreversibilità di alcuni fenomeni di degenerazione.

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Dinamica evolutiva dei sistemi biologici

Il modello di Malthus descrive l'evoluzione nel tempo di una popolazione, mediante una funzione esponenziale.

1)La popolazione è isolata ed è omogenea;2)L'habitat è invariante, ossia non è influenzato da fattori esterni.

Modello di Malthus

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Limiti del modello

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Modello di Verhulst

Il modello di Verhulst descrive la dinamica ecologica basandosi sull'effetto logistico (limitatezza delle risorse, inquinamento).

Modello logistico per COVID-19

Il modello matematico logistico elaborato per il Covid-19, evidenzia l'evoluzione dell'epidemia: il trend, in piena espansione, ha un andamento esponenziale.

In base all'efficacia delle misure di contenimento del contagio adottate e all'utilizzo di tecniche matematiche avanzate, i ricercatori hanno potuto stimare la stabilizzazione del contagio e il picco epidemico.

Il modello logistico ha un limite: la curva è simmetrica. Nella realtà, la velocità di diffusione del virus è diversa di quella di diminuzione del contagio.

Modello S.I.R. per COVID-19

Un altro modello matematico elaborato per descrivere la dinamica dell'epidemia, è il modello SIR: la popolazione è ripartita con tre sottoinsiemi: S= suscettibili, individui potenzialmenti esposti; I= infetti, individui che hanno contratto il virus; R= rimossi, individui guariti, o deceduti.

Modello S.I.R. per COVID-19

Il modello SIR si basa su diverse ipotesi, quali: *la popolazione rimane costante durante il periodo in esame; *la probabilità di contrarre il virus è uguale per tutti i suscettibili e rimane costante durante il periodo in esame; *la dinamica dell'epidemia dipende da un parametro che esprime il numero di contagi causato da un singolo infetto. Tale parametro indica la capacità del virus di diffondersi in assenza di misure di contenimento.

Modelli per COVID-19

Altri modelli computazionali sono stati sviluppati, basandosi su ipoesi più realistiche: *la popolazione è ripartita in classi di età, ciascuna delle quali ha probabilità specifiche di ammalarsi; *la popolazione non rimase costante nel periodo di osservazione.

Le stime e di conseguenza l'affidalità delle previsioni, effettuate con i modelli matematici per il COVID-19 dipendono da molti fattori, quali l'accuratezza dei dati raccolti, le ipotesi semplificatici introdotte.

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Il sistema ha un comportamento oscillante attorno al punto di equilibrio che torna periodicamente nello stato iniziale. Le soluzioni del sistema sono rappresentate graficamente da orbite chiuse dette isocline.

Il modello preda-predatore

Il modello preda-predatore, formulato da Volterra, descrive la dinamica di un ecosistema in cui interagiscono due specie animali: le prede forniscono alimento ai predatori. Esso è costituito da un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine.

Modello Preda-Predatore

Le soluzioni del sistema possono essere rappresentate:

Nel piano cartesiano sono rappresentate da oscillazioni periodiche, con massimi e minimi sfasati di 1/4 di periodo.

Nel piano delle fasi sono rappresentate da traiettorie chiuse.

OSSERVAZIONI DEL MODELLO

1)In assenza di predatore, l'evoluzione nel tempo delle due specie è di tipo malthusiano, ossia:Il numero delle prede tende a crescere indefinitamente, avendo cibo disponibile senza limitazioni; il numero di predatori decresce perchè non ha nessuna forma di sostentamento.

2)L'attività di interazione, comporta una diminuzione del numero delle prede di un fattore proporzionale agli incontri e un aumento del numero dei predatori. Annullando, nel sistema, le derivate e rappresentando graficamente le rette dette isocline, il punto di intersezione è il punto di equilibrio.

è il punto di equilibrio

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Modello di competizione di Volterra

Volterra, riferendosi al problema della pesca, elaborò il modello matematico di competizione per descrivere la dinamica di due tipi di organismi che utilizzano la stessa risorsa.

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Gestione delle risorse naturali ad accesso comune

Problema del pescatore

Due pescatori pescano nello stesso mare e sono consapevoli che occorre essere moderati nella pesca, per preservarne la risorsa. Il primo pescatore, non conoscendo le scelte dell'altro, pensa che se pesca in maniera moderata guadagnerà poco, perciò decide di pescare in modo intensivo. Il secondo pescatore si comporterà allo stesso modo.

Questa soluzione è la peggiore possibile dal punto di vista dei profitti e delle risorse: la libera competizione porta alla peggiore evoluzione.

Teoria dei giochi

La teoria dei giochi studia l'interazione strategica dei comportamenti di più individui. L'interazione può essere di carattere cooperativo o conflittuale: l'obiettivo è massimizzare il guadagno.

Equilibrio di Nash

L'equilibrio di Nash è una situazione di giochi non cooperativi. La situazione di un giocatore è ottima se è la migliore possibile rispetto alla scelta del giocatore avversario.

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Il problema del pescatore

Il problema del pescatore, nell’ottica della teoria dei giochi, è una tipica situazione di interazione strategica tra due soggetti che cooperano per lo sfruttamento della stessa risorsa. La teoria dei giochi fornisce una rappresentazione del problema mediante la matrice dei payoff in cui i pescatori possono scegliere tra due strategie: pesca moderata (atteggiamento cooperativo) e pesca intensiva (atteggiamento aggressivo).

Se in una popolazione di animali della stessa specie si verificano contese per la conquista di una preda, se ogni animale ha a disposizione due strategie: un'agressiva F (falco) e una non agressiva C (colombe), se si pone uguale a uno l'utilità dell'animale nel conquistare la preda, si ha una matrice payoff

Falchi e colombe

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dove C è il costo sul combattimento.

Osservazione: La strategia F è evolutivamente stabile e (F;F) è un equilibrio di Nash se c=1/2.

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Uno "sguardo" alle equazioni differenziali

Un’equazione differenziale è un’equazione che lega una funzione alle sue derivate.

La soluzione dell’equazione differenziale è detta integrale generale.

Il problema di Cauchy consiste nel determinare la soluzione dell’equazione differenziale che soddisfi le condizioni iniziali.

L’ordine di un’equazione differenziale è il massimo ordine della derivata che compare nell’equazione differenziali.