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Tour d'horizon

Se questionner

Questions

Quel savoir un enseignant doit-il maîtriser pour enseigner les maths à l’école maternelle ?
Quelles connaissances des concepts mathématiques ?
Faut-il posséder une bonne culture des maths ?
Quels choix didactiques pour organiser les apprentissages (comment anticiper ou instruire une séquence d’apprentissage) ?
Comment recenser, analyser et comprendre les difficultés des élèves dans le but d’y remédier ?

....

Quel processus vise à accéder au nombre ?
Comment réussir leur première rencontre avec les nombres ?
Comment aménager cette première rencontre ?

Parler le nombre

REPRésenter le nombre

phénomène du Subitizing

1, 2, 3... la construction du nombre en petite section

Le nombre, c’est quoi au juste ? À quoi sert-il ?

Enjeux

Les enjeux

Accompagner l’enseignant dans l’élaboration de son enseignement.
Donner des clés pour faire des choix didactiques judicieux.
Comment organiser les apprentissages et les mettre en œuvre auprès des élèves ?
Recenser, analyser et comprendre les difficultés des élèves.

Éléments théoriques

La didactique des maths,
Des résultats issus de la recherche,
Avoir une compréhension des concepts mathématiques fondamentaux,
Pendre appui sur les différentes modalités d'apprentissage à l'école maternelle.

..........

Que faut-il savoir ? Cette réponse est d’une grande complexité et il n'est pas évident de donner des éléments simples pour y répondre.
Les compétences communes à tous les professeurs – professionnels porteurs de savoirs et d’une culture commune, praticiens experts des apprentissages ("enseignant, artisan et chercheur") :
- Maîtriser les savoirs disciplinaires et leur didactique ;
- Construire, instruire, mettre en œuvre et animer des situations d’enseignement et d’apprentissage prenant en compte la pluralité des élèves ;
- Organiser et assurer des modalités de fonctionnement du groupe favorisant l’apprentissage, les échanges, les interactions, la socialisation des élèves ;
- Observer, recenser, évaluer les obstacles, les progrès et les acquisitions des élèves et y remédier le cas échéant.

Les enseignants doivent avoir des connaissances relevant de plusieurs champs.Plusieurs champs sont requis :

se doter d'un éventail de gestes pédagogiques – Attitude et posture – gestes professionnels.
Avoir, posséder un répertoire d’actions adaptés au niveau des élèvesC’est être capable d’identifier l’impact de ses choix de gestes sur l’activité de l’élève et d’analyser la préparation de classe, instruire la séquence (a priori) puis à chaud, observer, analyser, échanger, aider, accompagner les élèves pendant la tâche et pendant qu'ils produisent (in situ) et enfin, évaluer les obstacles, les progrès et les acquisitions des élèves (a posteriori).

Le programme

Le savoir Les connaissances Le programme ....... Programme 2015Construire les premiers outils pour structurer sa pensée Document en téléchargement >>>

Éléments de progressivité

Éléments de progressivité Source : Enseigner les mathématiques en maternelle : Construire des outils pour structurer la pensée de Frédéric Castel (Avec la contribution de), Fabienne Emprin-Charotte (Avec la contribution de), Fabien Emprin

Concepts clés

4 concepts clés Source : R. BRISSIAUD Le nombre dans le nouveau programme de l’école maternelle Quatre concepts clés pour la pratique et la formation (absents des programmes de 2002 et de 2008).Leur compréhension est incontournable afin de mettre en œuvre de manière éclairée le programme 2015 de maternelle. Ces concepts-clés sont ceux :

de décomposition,
d’itération de l’unité,
la transition du nombre de ... au nombre,
l’usage de « nombres figuraux ».

...... Le nombre dans le programme de l'école maternelleVoir source Document à télécharger >>> ......... Les 4 concepts clés selon R. BRISSIAUD Document à télécharger >>> http://maternelle27.spip.ac-rouen.fr/sites/maternelle27.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/p2_concepts_cles_7diapos.pdf ...... La trame d'une progressivité Document à télécharger >>>

Compétences langagières

Les compétences langagières Les progrès possibles sont corrélés aux compétences langagières Celles-ci contraignent les progrès possibles dans tous les domaines et en particulier dans le domaine du nombre. Le progrès des enfants dépend de la façon dont l'enseignant et les élèves dialoguent autour des nombres (« parler et représenter » les nombres). La parole et donc la langue est l'une des composantes importantes du progrès. L'utilisation de mots "justes" et la construction de phrases simples permettent de clarifier, d’enrichir la pensée. Désigner des actions par des verbes (ce mot pivot permet d’organiser la pensée, d’exprimer des idées ou des concepts (pour viser progressivement l’abstraction).L’objectif est d’enrichir les apport culturels et l’entraînement à s’exprimer. Nommer les objets, les personnes, les qualifier en construisant des phrases simples puis, de plus en plus complexes. Document à télécharger >>>

Qu’est-ce qu’un nombre ?Estimer une collectionNotion de quantitéDialoguer autour du nombreConcept de décompositionComptage-dénombrementÉnumération...

Parler le nombre Dialoguer autour du nombre ....

Quel processus vise à accéder au nombre ?
Comment réussir leur première rencontre avec les nombres ?
Comment aménager cette première rencontre ?

Télécharger le document de présentation >>> .......

Comment exprimer l’idée de « 3 » sans utiliser un mot du langage ?

Représenter les nombres Les désignations linguistiques des nombres. La représentation des petits nombres à l’aide de collections-témoins est une réelle aide pour faire comprendre aux jeunes enfants ce que sont ces premiers nombres : - Utiliser un « matériel » constamment à disposition – leurs doigts - Tracer des traits... Exemples des os taillés ("taille des collections" et des Calculis Les calculis C'est dans les restes des temples des cités d'Uruk et de Lagash (le Pays de Sumer, l'actuel Irak) qu'on retrouve les premières traces d'écriture. Elles sont datées de 3300 ans avant JC. Les sumériens utilisaient des roseaux taillés en pointe (les calames) pour tracer les signes sur des tablettes d'argile. Source : site web hominidés........ Toutes les manières d’utiliser les doigts ne se valent pas. Cette pratique pédagogique n’est pas toujours source de progrès chez les enfants. Télécharger le document de synthèse >>> .......

Accéder aux premiers nombres grâce au subitizing

LE PHENOMENE DU SUBITIZING Le phénomène de SUBITISATION – SUBIT (effet instantané). Comment les enfants – qui apprennent précocement à compter - accèdent-ils à cette idée de totalisation et donc de nombre ? Les toutes petites collections (< à 3) constituent un domaine privilégié pour que les enfants accèdent à l’idée de totalisation. Pour les trois premiers nombres, les enfants raisonnent autrement. Le traitement numérique des collections ne contenant pas plus de 3 unités, a effectivement quelque chose d’instantané. ......... Le phénomène des 2 limites Cela s'explique du fait que le nombre de groupes ne dépasse pas 3 (il y a 1 groupe de deux, 1 autre groupe de deux et 1 « groupe » de un, c'est-à-dire 3 groupes en tout) et le nombre d'items à l'intérieur de chacun des groupes reste lui aussi inférieur ou égal à 3 (ici, son maximum est 2).Ainsi, lorsqu'on parle de 3 unités comme limite supérieure du subitizing, il faut comprendre que chacune d'elles peut-être une « grande unité » composée elle-même de 1, 2 ou 3 unités élémentaires, ce qui étend de manière considérable la plage numérique d'utilisation du subitizing. Ainsi, 3 points, 3 autres points et encore 3 autres peuvent être traités en un seul focus de l'attention par un adulte et, vraisemblablement, par un élève de GS (il y a 3 groupes de 3 : on ne dépasse pas les deux limites). Ce « phénomène des deux limites » (nombre de groupes et nombre d'unités à l'intérieur des groupes) a des conséquences fondamentales en MS et GS : le subitizing facilite chez l'enfant l'accès à un grand nombre de décompositions des nombres jusqu'à 9........ Document à télécharger >>>

5.1

1 - dialogues fondamentaux en PS en début de MS

Des dialogues fondamentaux Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 57&58) Pour les 3 premiers nombres, proposer une progression dans l’usage des doigts INDEX, MAJEUR, PETIT-DOIGT, ANNULAIRE et enfin le POUCE

Consigne :Donne-moi 2 jetons, comme ça « UN » et encore « UN » en montrant 2 doigts (pour les nombres 1 et 2 - index et majeur).
Du matériel à dénombrer sur la table :images, billes, marron, cailloux, cuillère, fourchette, verre, assiette, jetons, cubes, Kapla, voiture….
Les enfants répartis autour de la table :Ils doivent bien connaître le nom de chaque sorte d’objets.Ce nom est à rappeler en début d’activité :« Comment s’appelle ces objets ? »Oui, ce sont des « marrons » !
1ère question préparatoire de l’activité :« Laurent, donne-moi un marron ».
Montrer 2 doigts (de préférence index et majeur) et s’adresser à un enfant : « Camille, donne-moi 2 bouchons, comme ça : un et encore un (en montrant un doigt puis l’autre).
L’enfant doit mettre en relation ce qui lui est montré avec les doigts avec ce qui lui est demandé concernant les bouchons.
Si l’enfant ne réussit pas, l’adulte peut poursuivre : 2 jetons, ça veut dire 1 et encore 1 – Regarde, je prends 1 bouchon et encore 1, ça fait 2 bouchons comme ça.L’important est de comprendre que l’expression « 1 et encore 1 » signifie l’ajout d’unités, qu’il s’agisse de doigts ou de bouchons.
Poursuivre avec un autre enfantDonne-moi UN cube, comme ça (en montrant l’index).Nous savons déjà qu’il sait le faire (voir en début d’activité).Grâce à la collection-témoin de 1 doigt, il s’agit d’aider les enfants à accéder à la signification de 1 lorsque celui-ci est l’adjectif numéral (c’est le ONE anglais).
Il faut comprendre le mot « UN » dans un contexte où celui-ci est utilisé à la place de « 2 » ou de « 3 ».
Poursuivre en montrant à nouveau 2 doigts mais en changeant de configuration de doigts.Utiliser successivement INDEX/MAJEUR – PETIT-DOIGT/ANNULAIRE et enfin POUCE/INDEX.Retarder l’usage du pouce (doigt ayant un statut différent des autres).
Les premiers dialogues de ce type peuvent ne concerner que les nombres « 1 » et « 2 ».
S’assurer de la présence d’une ou plusieurs sortes d’objets qui correspondent à des noms féminins.
Expliciter qu’en français – # de l’anglais – le mot-nombre utilisé pour désigner le nombre « 1 » change selon le genre de l’unité : nous disons UN cube, UNE image, UNE bille…
Travailler sur les parties de l’être humain (ce qui est très motivant pour les enfants) (P 59)la tête, le corps, le nez, la bouche, le front, le ventre les 2 yeux, les 2 bras, les 2 jambes, les 2 joues, les 2 oreilles…
Modifier légèrement la consigne précédente :Donne-moi ça de jetons, « 1 » et encore « 1 ». C’est combien comme ça ?Ne pas dire le nom du nombre.Cela incite l’enfant à apprendre et à mémoriser :acquérir le nom du nombre 2.
Alterner encore une fois les doigts utilisés.

1 - Donne-moi...

1 - Donne-moi comme ça de jetons... Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 60-61) ................ Former une collection ayant un nombre donné d’unités « Donne-moi comme ça de jetons » en montrant la face d’un dé (P 60)

L’activité consiste : former une collection ayant un nombre donné d’unités (entre 1 et 3) en montrant la face d’un dé (1, 2 ou 3) plutôt qu’une collection témoin de doigts.
Ici, l’adulte ne compte pas, il décrit les faces du dé à l’aide des décompositions.
La face « 2 » s’appelle ainsi parce qu’il y a « 1 » point et encore « 1 » point.
La face « 3 » s’appelle ainsi parce qu’il y a « 1 » point, « 1 » et encore « 1 » ou « 1 » point et encore « 2 » (en désignant les extrêmes et encore « 1 » au milieu ou « 2 » points et encore « 1 ».
Dès que les enfants réussissent…
Utiliser un dé « reconfiguré » (sur 2 faces opposées, il y respectivement 1, 2 et 3 points).
Jouer au jeu de cumuls d’objets
Lancer alternativement le dé et prendre un nombre correspondant d’objets.
Déposer ces objets dans une bannette permettant de vérifier si la quantité d’objets correspond à la valeur désignée par le dé.
Stocker ensuite sur un dispositif permettant de savoir quand le cumul doit s’arrêter – le premier qui atteint cette limite gagne.
Le but du jeu est de gagner des jetons qui figurent des ballons – les placer sur une fiche mise à disposition de chaque joueur.

1 - Comparer... mais sans compter

1 - Au-delà de "3", comparer... mais sans compter Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 62-63-64) ................ Au-delà de « 3 », en PS et en début de MS : comparer… mais sans compter (P 62)

Présentation : pour les collections de plus de 3 unités, une situation particulièrement intéressante est celle où une description verbale de chaque unité permet de la distinguer des autres (album 1, 2, 3 – Retz 2005)
Prendre une histoire où par exemple on ne parle que d’un canard, d’un chat, d’un chien…
La narration se fait sous la forme : « Le chat arrive et dit au canard.
Dans chacun de ces cas, construire une collection-témoin de doigts en énumérant les unités grâce à cette description verbale : le chat – un doigt est levé, le canard (un autre doigt).
De nombreux enfants comprennent d’emblée que cet usage des doigts est un dénombrement (ils généralisent ce qui a été travaillé avec les collections jusqu’à « 3 » aux cas de ces « grandes collections ».
Encore une fois, nul besoin de compter.
Le contexte de l’appel du matin – pratique quotidienne et ritualisée.
Pointer leur présence en arrivant le matin en classe.
Commencer la journée en prenant un carton avec leur photo et en le déposant sur un tableau des présents.
Les cartons restant dans une bannette sont ceux des absents.
Exemple des nains de Blanche-Neige - Chaque carton et donc chaque enfant peut être nommé par son prénom.
Pour savoir combien il y a de d’absents, il est possible de construire une collection-témoin de doigts par CTAT avec les cartons.
Se saisir d’un carton, nommer un élève et lever un doigt, puis se saisir d’un autre carton, nommer un autre élève…
Finalement, montrer l’ensemble des doigts qu’il a levés et interroger les enfants pour savoir si l’un d’eux connaît le nom du nombre correspondant à la collection de doigts ainsi constitués.

L’usage d’une situation de comparaison rend explicite le fait que les collections-témoins de doigts sont des symboles permettant de dire s’il y beaucoup d’unités dans une collection.

1, 2, 3... Des activités clés en maternelle

Découvrir les nombres et leurs utilisationsSource : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud

3 - Comprendre comment se forment les nombres…

Comprendre comment se forment les nombres… Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 66) ................ Comprendre comment se forment les nombres… avant de connaître leurs noms Si des élèves de PS disent « C’est beaucoup de chats » parce que c’est plus qu’une main, l’enseignant peut être satisfait. Dans ce cas les élèves ont compris que la procédure de construction d’une collection-témoin de doigts est une procédure de dénombrement. Ils ont compris que c’est un moyen d’exprimer des quantités, des nombres (même s’ils ne connaissent pas les noms des nombres).

Ne pas savoir le nom du nombre correspondant à 7 doigts est normal.
Ils l’apprendront plus tard notamment en comptant des objets parce qu’ils seront conduits à réciter la suite des mots-nombres dans l’ordre.
Cet ordre est une technique de mémorisation et tant que les enfants n’ont pas appris à compter, la mémorisation des noms des nombres à partir de collections-témoins qui leur correspondent est évidemment difficile.
Dire lui-même (l’enseignant) le nom des nombres en utilisant la décomposition correspondante.
« Je vais vous dire comment ce nombre s’appelle, c’est « 7 » : une main complète (en montrant les doigts correspondants) et encore « 2 » (en montrant les doigts correspondants », c’est « 7 ».

En comparant des nombres à l’aide de collections-témoins de doigts, les enfants apprennent beaucoup plus que le nom des nombres : ils apprennent que le nombre suivant se forme en ajoutant une unité supplémentaire. S’il y a « comme ça de chats, une main et 2 » dans une maison et « comme ça de chats, une main et 1 » dans l’autre, les enfants savent très tôt comment faire pour qu’il y ait « PAREIL » de chats dans les 2 maisons : il faut lever un doigt supplémentaire, CAD faire entrer un chat de plus dans la maison.

Ils apprennent que « une main et 2 », c’est « une main et 1 et encore 1 ».

........ Ils apprennent surtout que de manière générale, le nombre suivant se forme en ajoutant une unité supplémentaire. Cette connaissance (le concept d’itération) est essentielle parce qu’elle permet aux enfants d’entrer dans un apprentissage du comptage en comprenant le fonctionnement de celui-ci.

2 - COMPRENDRE LES DÉCOMPOSITIONS DE ...... POUR INTRODUIRE LE NOMBRE 3

Comprendre les décompositions de 3Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 59) Pour introduire le nombre 3 (p 59) :

S’adresser à un enfant : « Donne-moi comme ça de marrons : 1, 1 et encore 1.Attention ! 1, 1 et encore 1, c’est un nouveau nombre : 3alors qu’il montre l’INDEX, le MAJEUR et l’ANNULAIRE.
Il est important que l’expression 1, 1 et encore 1 soit utilisée pour commenter la formation de la collection de marrons.
La collection-témoin de doigts est un symbole numérique du nombre de marrons demandé parce que l’une et l’autre collections (celle des doigts puis celle des marrons) se forment de manière identique en ajoutant des unités.
L’autre décomposition de 3saisir l’occasion d’un enfant qui se trompe en proposant 2 comme réponse.
Lui dire que « 2 c’est comme ça » - en montrant l’index et le majeur.
Et poursuivre, « Moi, je t’ai demandé comme ça (en levant l’annulaire) ; « c’est 2 et encore 1.
Comment se dit-il ce nombre ?
Inviter l’enfant à former la collection d’objets correspondante. L’enfant qui ne connaît pas le nom du nombre 3 peut désigner pendant un certain temps le nombre correspondant par « 1, 1 et encore 1 ».
Alterner encore une fois les doigts utilisés.

2 - MONTRE-MOI ...

2 - Montre avec tes doigts combien il y a de … Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 60-61) ................ « Tu me montres avec les doigts combien il y a de … » Construire une collection d’objets (P 61)

L’activité consiste : l’adulte construit une collection d’objets – Cubes, images, jetons, marrons,
L’enfant doit montrer avec ses doigts le nombre correspondant,
Dire si possible le nom du nombre en produisant la phrase :il y a n objets – l’objectif est aussi qu’il sache qu’il y a 3 objets,
Difficulté à lever tel ou tel doigt sans lever tel autre,
Demander aux enfants de montrer de plusieurs façons sur les doigts (vérifier l’utilisation des collections-témoins de doigts et non des configurations).

3 - OÙ Y A-T-IL "3" ?

3 - « Où y a-t-il « 3 » ?Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 60-61) ................ « Où y a-t-il « 3 » ? Et « 2 » ? Et « 1 » ? (P 61)

L’activité consiste : préparer diverses images qui ont toutes la propriété d’être formées à partir d’une collection de « 3 », d’une collection de « 2 » et enfin d’une collection d’une unité.
Interroger les enfants sur ce qu’ils voient en s’assurant qu’ils connaissent le nom des objets,
Demander ensuite en montrant « 3 » doigts « Où y a-t-il « 3 » comme ça ? »
Énumérer (après la réponse des enfants) la collection des 3 objets sous la forme : « Une là, une là et encore une là ; un, un et un, c’est « 3 ».
Disposer de plusieurs images (au moins 2) afin que les enfants ne mémorisent pas d’une séance à l’autre le nombre correspondant d’objets mais soient obligés de construire ce nombre avec toujours les précautions linguistiques préconisées.

Activités clés pour construire le nombre

sYNTHèSE

rESSOURCES

2 - Comparer à l’aide de collections témoins de doigts

2 - Comparer à l’aide de collections-témoins de doigts Source : Premiers pas vers les maths - R. Brissiaud (P 62-63-64) ................ Comparer à l’aide de collections-témoins de doigts (P 63-64)

Présentation : Prendre des bandes de papier de même longueur (différents chats sont dessinés à la queue. leu leu – de 2 à 8). Les chats doivent être dessinés de façon à pouvoir être distingués les uns des autres.
Théâtraliser pour s’approprier l’activité – imaginer que les chats rentrent dans une maison.
S’interroger pour savoir dans quelle maison il y aura le plus de chats – Réponse des enfants parfois « Le plus beaucoup ».
Comparer 2 chats avec 8, la réponse est évidente. Dans des collections plus proches, ce n’est pas évident du tout.
Commencer par un cas évident qui aidera les enfants à comprendre la tâche.
La comparaison ici n’est pas évidente pour répondre à la question
Construire une collection-témoin de doigts (l’enseignant) en même temps qu’une énumération collective des chats qui vont rentrer dans la maison au toit blanc.
Énumérer les chats de gauche à droite en indiquant une caractéristique physique du chat pris en compte (couleur globale et couleur de la tête) – Il faut pouvoir les distinguer pour une bonne énumération.
Commencer l’énumération par le pouce (première main vue de dos pour les doigts se lever successivement de la G vers la D.
Dire un chat blanc (le pouce est levé), un chat blanc (le majeur est levé)…
Un enfant peut pointer (sans compter évidemment) chaque chat pris en compte.
Finalement le geste se termine en montrant une collection-témoin de doigts.
L’enseignant montrant 7 doigts dit : « il y comme ça de chats qui vont entrer dans la maison au toit blanc »
Une main complète « 5 » et encore « 2 ». Vous vous en souviendrez.
Utiliser la même procédure pour la maison avec le toit noir.
Pour favoriser la mémorisation de chacun des nombres, disposer d’images de doigts qui représentent 6, 7, 8 doigts en affichant celle qui convient à côté de la maison correspondante.
Faciliter ainsi la comparaison en regardant les 2 collections-témoins en même temps.
Bien lever tous les doigts d’une main avant de commencer à lever ceux de l’autre.

Les enfants prennent conscience que lorsqu’il n’y a pas assez de doigts sur une main pour montrer combien il y a de chats, c’est que le nombre est grand (c’est beaucoup de chats). De plus, le fait que qu’une main soit commune aux deux nombres, la comparaison ne porte que sur de tout petits nombres : pour comparer « UNE main et 2 » et « UNE main et 1». Il suffit de comparer 1 et 2. Lorsque le nombre final ne dépasse pas 8, nous comparons de très petits nombres, ceux dont la comparaison est facilitée par le SUBITIZING.

5.2

5.3

SYNTHÈSE ..... 1 - Pour conclure Document à télécharger >>> ............ http://maternelle27.spip.ac-rouen.fr/sites/maternelle27.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/en_conclusion.pdf ............ 2 - Document synthétique Document à télécharger >>> ........ http://maternelle27.spip.ac-rouen.fr/sites/maternelle27.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/synthese2.pdf

1 - Bibliographie - Sitographie 2 - Vidéographie 3 - Des définitions en maths à connaître... >>> 4 - Des comptines et des jeux pour compter >>> Document à télécharger >>> ....... .............. 2 - Vidéographie Vidéo - jeu du saladier Nombres_Décompositions_Jeu_Du_Saladier ............................... Vidéo des fiches à comparer de Rémi BRISSIAUD

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