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Ramón Mejías

Resolución de problemas en el método ABN

JustificaciónCategorias semánticasEl viaje de vuelta

Todos los docentes de primaria estamos sujetos al RD 126/2014"Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje a lo largo de la etapa, puesto que constutyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requiera leer, reflexionar, planificar, establecer estrategias y procedimientos y revisarlos, modificar el plan si fuera necesario, revisar la solución, hasta comunicar el resultado"

tenemos que poner los problemas en el centro del día a día

JMM en 1995 realiza un estudio sobre los tipos de problemas que se trabajan.Concluye que se dejan muchas categorías fuera del trabajo y que no hay secuenciación ni de tipo ni de dificultad.Con una buena sistematización, los resultados mejoran notablemente.Dejamos los problemas de una operación para los cursos bajos, y los de 2 operaciones para los más altos

"Trabajar con sistematicidad todos los tipos de problemas matemáticos escolares supone tener a mano toda una serie de actuaciones de prevención del fracaso en la enseñanza de los problemas" JMM

Una de las respuestas más recurrentes ante la pregunta del fracaso de los alumnos en la resolución de problemas, es la comprensión lectora. Sin embargo, esos mismos niños leen textos mucho más amplios y complejos. ¿Es esa la verdadera razón?¿Qué hace un niño que multilpica?

Mal rendimiento: Causas y motivos

Una operación mediante una técnica, puramente mecánica, desposeída de significados, que no ayuda a la comprensión del problema de multiplicar.

El fallo más importante en la enseñanza de los problemas es la AUSENCIA del viaje de ida. Pretendemos que los alumnos/as partan de la propuesta verbal a la operación sin haber recorrido el camino de ida.

El viaje de ida

La importancia de narrar el proceso

Aportes del ABN

Las preguntas intermedias

SIEMPRE PRIMERO UN PROBLEMA

Los primeros problemas no se escriben, hay que vivirlos:1. Representación dramatizada por parte del docente.2. Representación dramatizada por parte del alumno inventando ellos la situación.3. Invención de un problema oral sin materiales y resolución del mismo.4. Les damos las operaciones e inventan un problema oral.5. Poner por escrito lo que saben hacer de manera oral. A algunos hasta segundo les costará

El viaje de ida: resolución dramatizada

¿Cuántas patas tienen estos cangrejos en total?¿Cuántas pinzas tiene en total los cangrejos?

El viaje de ida: representación figurativa

Este trabajo mejora enormemente los resultados

Utilizamos símbolos en lugar de las figuras (bolitas, palitos...) para representar la realidad.Podemos aprovechar para extender las situaciones y explorarlas al máximo

El viaje de ida: representación simbólica

Ayudan a entender mejor el texto del enunciado, pero ya sin ayudas gráficas, figurativas o simbólicas.

El viaje de ida: ayudas textuales

No en todos los tipos de problemas será necesario cumplir con todos los pasos. En ocasiones sólo usaremos algunas de las ayudas para la compresión.

SECUENCIA

MUY IMPORTANTE: como centro establecer una secuencia clara que garantice el trabajo de todas las categorías

con ABN

sin ABN

estruc. aditivas

estruc. aditivas

estruc. multiplicativas

estruc. multiplicativas

Problemas 2 operaciones

Estructuras multiplicativas

Estructuras Aditivas

Categorías semánticas

CA

Estructuras aditivas

CO

CM

RI

IG

CAMBIO

"

"

Por lo general, suele ser la primera categoría en abordarse, ya que se ocupa de problemas más frecuentes, que responden a situaciones muy habituales y fáciles de entender.Son problemas de una sola cantidad que sufre una transformación (CAMBIO) ya sea aumento o disminución, y se convierte en una cantidad diferente.

Una cantidad inicial cambia en forma de aumento, y preguntamos por el total

Una cantidad inicial cambia de manera negativa, y preguntamos por el total

Una cantidad inicial cambia de manera negativa, sin saber cúanto.Conocemos el total.

Una cantidad inicial, que no sabemos cual es, sabemos cúanto disminuye y conocemos el total.

Cambio 1

Cambio 2

Cambio 4

Cambio 6

CAMBIO

Una cantidad inicial, que no sabemos cual es, sabemos cúanto aumenta, y conocemos el total.

Cambio 5

+

-

Una cantidad inicial cambia en forma de aumento, pero sin saber cúanto. Conocemos el total

Cambio 3

-EA

-ED

-

+

CA1 Iván tenía 9 cromos y su mamá le ha comprado un sobre con 5 cromos. ¿Cuántos cromos tiene ahora Iván? 9+5 = ¿?CA2 Iván tiene 9 cromos y jugando con su hermana se estropean 5 cromos. ¿Cuántos cromos tiene ahora Iván? 9-5 = ¿?CA3 Iván tiene 9 cromos y su madre le ha comprado un sobre con cromos. Ahora Iván tiene 14 cromos, ¿cuántos cromos hay en el sobre? 9 + ¿? = 14CA4 Iván tiene 9 cromos y jugando con su hermana se estropean algunos. Ahora le quedan 4 cromos a Iván. ¿Cuántos se han estropeado? 9 - ¿? = 4CA5 Iván tenía unos cuantos cromos y su madre le compra un sobre con 5 cromos. Ahora Iván tiene 14 cromos ¿Cuántos cromos tenía Iván al principio? ¿? + 5 = 14CA6 Iván tenía unos cromos para jugar con su hermana. Jugabdo se estropean 5 y ahora Iván tiene 4 cromos. ¿Cuántos cromos tenía Iván para jugar? ¿? - 5 = 4

COMBINACIÓN

"

"

Es la categoría que hace referencia a la combinación de dos o más partes parciales para generar un todo.Las partes tienen algo que ver entre ellas, para generar un todo común.

COMBINACIÓN

Conocemos las dos o más partes parciales que se juntan para formar el todo, que es lo que queremos conocer.

Combinación 1

Desconocemos una de las partes parciales, pero en cambio, conocemos el todo.Preguntamos por esa parte parcial que desconocemos

Combinación 2

+

-

CO 1 En el huerto del cole hemos recogido de los árboles frutales 12 peras y 8 manzanas. ¿Cuánta fruta tenemos del huerto? 12 + 8 = ¿?CO2 En el huerto del cole hemos recogido 20 piezas de fruta. 8 son manzanas, ¿Cuántas peras hemos recogido en el huerto?8 + ¿? = 20CO2 En el huerto del cole hemos recogido 20 piezas de fruta. 12 son peras, ¿Cuántas manzanas hemos recogido en el huerto? 12 + ¿? = 20

COMPARACIÓN

"

"

Categoría en la que una cantidad se compara con otra estableciendo una diferencia exacta entre ellas.Distinguimos diferentes elementos:1. la cantidad comparada (la que nos sirve para comparar)2. la cantidad de referencia3. la diferencia4. el sentido de la diferencia.

Los problemas de Comparación e Igualación tienen una dificultad específica:

Relatividad

Cuando en igualaciones podemos igualar tanto por un lado como por otro

Incongruencia

El sentido del problema es aumentar pero se resuelve restando.Y viceversa

Reversibilidad

Cuando la comparación se puede abordar desde ambos lados

COMPARACIÓN

Trabajamos ambos a la vez, para que se acostumbren a dar la diferencia en más o menos indistintamente

Comparamos una cantidad con otra.Preguntamos por cuántos menos.......

Comparación 2

-

Conocemos la cantidad de referencia y la diferencia positiva, preguntamos por la cantidad comparada

Comparación 3

+

Conocemos la cantidad de referencia y la diferencia negativa, preguntamos por la cantidad comparada.

Comparación 4

-

Cantidad comparada y diferencia negativa son los datos, preguntamos por la cantidad de referencia

Comparación 6

+

Comparamos una cantidad con otra.Preguntamos por cúantos mas.......

Comparación 1

-

Cantidad comparada y diferencia positiva son los datos, preguntamos por la cantidad de referencia.

Comparación 5

-ED

CM1 Selena tiene 7 piruletas y Juan tiene 11 piruletas. ¿Cuántas piruletasmás tiene Juan?CM2 Selena tiene 7 piruletas y Juan tiene 11 piruletas ¿Cuántas piruletas menos tiene Selena?CM3 Selena tiene 7 piruletas. Juan tiene 4 piruletas más que Selena. ¿Cuántas piruletas tiene Juan? CM4 Juan tine 11 piruletas. Selena tiene 4 piruletas menos que Juan. ¿Cuántas piruletas tiene Selena?CM5 Juan tiene 11 piruletas, tiene 4 piruletas más que Selena. ¿Cuántas piruletas tiene Selena?CM6 Selena tiene 7 piruletas, tiene 4 piruletas menos que Juan, ¿Cuántas piruletas tiene Juan?

(la comparación la hacemos sobre la edad de Juan:cantidad comparada)

(la comparación es sobre Selena: cantidad comparada)

(la compración es sobre Juan: cantidad comparada)

(la compración es sobre Selena: cantidad comparada)

IGUALACIÓN

"

"

En esta categoría, lo que hacemos es comparar dos cantidades, y una vez vista la diferencia entre ellas, añadimos o quitamos de alguna de las dos para que ambas queden iguales.Siempre que igualamos hay que comparar.Elementos:1. la cantidad a igualar 2. la cantidad de referencia3. la igualación 4. el sentido de la igualación

IGUALACIÓN

Cantidad igualada e igualación son los datos, preguntamos por la cantidad de referencia.Sentido positivo

Igualación 5

+

Cantidad igualada y la igualación son los datos, preguntamso por la cantidad de referencia.Sentido negativo

Igualación 6

-ED

La cantidad igualada(menor) y la de referencia son los datos, y preguntamos por la igualación.Sentido positivo

Igualación 1

-EA

La cantidad igualada (mayor) y la referencia son los datos, preguntamos por la igualación.Sentido negativo

Igualación 2

-ED

Cantidad de referencia e igualación son los datos, preguntamos por la cantidad igualada.Sentido positivo

Igualación 3

-ED

Cantidad de referencia y la igualación son los datos, preguntamos por la cantidad igualada.Sentido negativo

Igualación 4

+

IG1 Manuel ha construido 5 figuras de Lego y Pedro 9 figuras. ¿Cuántas figuras tiene que construir Manuel para tener las mismas que Pedro?IG2 Manuel ha construido 5 figuras de Lego y Pedro 9 figuras. ¿Cuántas figuras no debería haber construido Pedro para tener las mismas que Manuel?IG3 Pedro ha construido 9 figuras de Lego, si Manuel construyera 4 más, tendría las mismas que Pedro, ¿Cuántas figuras ha construido Manuel?IG4 Manuel ha construido 5 figuras de Lego, si Pedro hubiera construido 4 figuras menos, tendría las mismas que Manuel, ¿Cuántas figuras ha construido Pedro?IG5 Manuel ha construido 5 figuras de Lego, si construyera 4 más, tendría las mismas figuras que Pedro, ¿Cuántas figuras ha construido Pedro?IG6 Pedro ha construido 9 figuras de Lego, si desmontara 4 figuras, pendría las mismas que Manuel, ¿Cuántas figuras ha construido Manuel?

REPARTO IGUALATORIO

"

"

Categoría nueva. No implica una igualación "al uso", ya que en la igualación una cantidad permanece fija.En el caso del Reparto Igualatorio, ambas cantidades sufren modificaciones, en la misma cantidad, simultáneas y de forma contraria.

R. IGUALATORIO

La cantidad a disminuir y la cantidad a aumentar son los datos. Se pregunta por la cantidad igualada.

RI 1

La cantidad a disminuir y aumentar son los datos, pero preguntamos por la cantidadigualadora

RI 4

La cantidad a disminuir y la cantidad igualadora son los datos. Preguntamos por la cantidad igualda

RI 2

-

La cantidad a incrementar y la cantidad igualadora son los datos. Preguntamos por la cantidad igualada

RI 3

+

+

La cantidad a disminuir y la igualda son los datos. Preguntamos por la cantidad igualadora

RI 5

-ED

La cantidad a incrementar y la igualada son los datos. Preguntamos por la cantidad igualadora.

RI 6

-EA

RI 1 Roberto tiene 16 muñecos superthings y Laura tiene 12 muñecos superthing Rubén le da unoscuantos a Laura y ambos se quedan con los mismos. ¿Con cuántos superthings se quedan ambos?RI 4 Roberto tiene 16 muñecos superthings y Laura tiene 12. ¿Cuántos muñecos le tiene que dar Roberto a Laura para que los dos tengan los mismos?RI 2 Roberto tiene 16 muñecos superthing, le da a Laura 2 muñecos y ambos se quedan con los mismos. ¿Con cuántos muñecos se quedan cada uno?RI 3 Laura tiene 12 muñecos, Roberto le da 2 y se quedan los dos con la misma cantidad ¿Cuántos muñecos tiene cada uno?RI 5 Roberto tiene 16 muñecos, le da unos pocos a Laura y ambos se quedan con 14. ¿Cuántos muñecos le da Roberto a Laura?RI 6 Laura tiene 12 muñecos y Roberto le da unos pocos para que ambos se queden con 14 ¿Cuántos muñecos le ha dado Roberto?

R. IGUALATORIO

La cantidad igualadora y la igualada son los datos. Preguntamos por la cantidad a incrementar.

RI 9

La cantidad igualada y la igualadora son los datos. Preguntamos por la cantidad a disminuir

RI 12

Tenemos la cantidad a disminuir y la cantidad igualada, así como el sentido. Preguntamos por la cantidad a aumentar.

RI 8

+

+

Tenemos la cantidad a aumentar y la cantidad igualadora como datos. Preguntamos por la cantidad a disminuir.

RI 10

- y +

Tenemos la catidad a aumentar y la cantidad igualada. Preguntamos por la cantidad a disminuir

RI 11

2+

Tenemos la cantidad igualadora y la catidad a disminuir. Preguntamos por la cantidad a aumentar.

RI 7

2-

-

2-

RI 9 Roberto le da a Laura 2 muñecos y ambos se quedan con 14. ¿Cuántosmuñecos tenía Laura al principio?RI 12 Roberto le da a Laura 2 muñecos y ambos se quedan con 14. ¿Cuántos muñecos tenía Roberto al principio? RI 7 Roberto tiene 16 muñecos y Laura tiene menos. Roberto le da 2 muñecos y los dos tiene los mismos. ¿Cuántos muñecos tenía Laura?RI 8 Roberto tiene 16 muñecos y Laura tiene menos. Roberto le da algunos muñecos y los dos se quedan con 14 muñecos. ¿Cuántos muñecos tenía Laura?RI 10 Laura tiene 12 muñecos. Roberto le da 2 muñecos, y ahora los dos tienen el mismo número de muñecos. ¿Cuántos muñecos tenía Roberto antes de repartirlos con Laura?RI 11 Laura tiene 12 muñecos. Roberto tiene más que ella, pero le da unos pocos a Laura hasta que los dos tiene 14 muñecos. ¿cuántos muñecos tenía Roberto antes de repartirlos con Laura?

IM

Estructuras multiplicativas

PC

E

ISOMORFISMO DE MEDIDAS

"

"

Categoría en la que entran todos los problemas de multiplicar, así como los de dividir que se derivan de ellos, en los que se busca hacer crecer el multiplicando.

ISOMORFISMO DE MEDIDAS

Problema clásico de multiplicar que en realidad se puede resolver con una suma. Hay que hacerles ver la ventaja de multiplicar

IM 1

X

Problema donde tenemos una cantidad grande a repartir, y sabemos los grupos que vamos a hacer. Preguntamos por la cantidad en cada grupo.

IM 2

:

Problema donde tenemos una cantidad grande a repartir, pero agrupando, ya que sabemos cuanta cantidad ponemos. Preguntamos por la cantidad de grupos.

IM 3

:

reparto

agrupamiento

IM 1 En cada uno de los estuches de clase tenemos 15 pinturas. Como hay 25 estuches en total, ¿Cuántas pinturas tenemos en clase?IM 2 Nos ha llegado un pedido de 375 pinturas a clase. Las queremos repartir en los estuches, que tenemos 25, para que todos tengamos las mismas. ¿Cuántas pinturas meteremos en cada estuche?IM 3 Nos ha llegado un pedido de 375 pinturas a clase. Como son de 15 colores distintos, queremos hacer grupos con una de cada color. ¿Para cuántos estuches tenemos?

ESCALAS

"

"

Categoría de problemas que cuentan con dos cantidades diferentes que son desiguales entre sí. Una de esas cantidades se compara respecto a la otra y el resultado lo ponemos en términos escalares.Elementos:*La cantidad comparada *La cantidad referente*La escala *El sentido, creciente o decrecienteMuy importante trabajar la diferencia entre "más" y "veces más"

ESCALAS

Tenemos la cantidad referente y la escala. Preguntamos por la cantidad comparada. Sentido creciente

EC 1

Contamos con la cantidad referente y la escala. Preguntamos por la cantidad comparada.Sentido decreciente

ED 1

Tenemos la cantidad comparada y la escala. Preguntamos por la cantidad referente.Sentido creciente

EC 2

:

Tenemos la cantida comparada y la escala. Preguntamos por la cantidad referente.Sentido decreciente

ED 2

+

:

Tenemos tanto la cantidad referente como la comparada. Preguntamos por la escala en sentido positivo

EC 3

:

Tenemos la cantidad comparada y la cantidad referente.Preguntamos por la escala en sentido negativo

ED 3

X

X

:

EC 1 Felipe tiene 8 cromos. Manuel tiene 3 veces más que Felipe. ¿Cuántos cromos tiene Manuel?EC 2 Manuel tiene 24 cromos, que son 3 veces más que los que tiene FElipe ¿Cuántos cromos tiene Felipe?EC 3 Felipe tiene 8 cromos y Manuel tiene 24 cromos ¿cuántas veces más cromos tiene Manuel que Felipe?ED 1 Felipe tiene 8 cromos. Tiene 3 veces menos cromos que Manuel ¿Cuántos cromos tiene Manuel?ED 2 Manuel tiene 24 cromos. Felipe tiene 3 veces menos cromos que Manuel. ¿Cuántos cromos tiene Felipe?ED 3 Manuel tiene 24 cromos y Felipe tiene 8 ¿Cuántas veces menos cromos tiene Feipe que Manuel?

PRODUCTO CARTESIANO

"

"

Categoría en la que entran todos los problemas de multiplicar, y sus correspondientes de dividir, en los que se busca ordenar pares entre ambas cantidades.Elementos:Primer factor: determina el orden de las combinacionesSegundo factor: aporta los ekementos para formar parejasproducto cartesiano: todas las combinaciones posibles.

PRODUCTO CARTESIANO

Problemas considerados de los más díficiles y ajenos a la realidad del niño.No dan pistas de la resolución, y tienden a pensar que es un problema aditivo

Poblemas en donde tenemos las dos cantidades a combinar y preguntamos por el número posible de combinaciones.

PC 1

X

Sabemos la cantidad de uno de los elementos a combinar y el total de las combinaciones posibles. Preguntamos por el otro elemento combinativo.

PC 2

:

Problemas tipo de raíz cuadrada.Conocemos el total del interior y preguntamos por ambos lados del cuadrado.

PC 3

:

PC 1 Sara tiene 4 camisetas de colores y 2 gomas del pelo diferentes. ¿De cuántas maneras posibles podrá combinarlas?PC 2 Sara tiene 4 camietas de colores y junto con las gomas del pelo puede hacer 8 combinaciones diferentes. ¿Cuántas gomas del pelo distintas tiene Sara?PC 3 La tabla del 100 que hay pintada en el patio tiene 100 cuadros para poner números. ¿cuántos cuadros tiene cada lado?

Problemas2 Operaciones

En realidad son dos problemas de una operación enlazados.La dificultad está en descubrir qué problema hay que resolver primero, pero que no aparece la pregunta del mismo.De esta solución depende la operación siguiente.

PAEV 2

Para resolverlos bien el alumnos debe saber:- resolver los PAEV 1 que entren en el problema- integrar las situaciones del PAEV 2- analizar y separar los dos PAEV 1 que lo componen- hallar la pregunta oculta del PAEV 2.En la pregunta oculta debemos basar toda la base del proceso de enseñanza.

PAEV 2

Comenzaremos haciendo actividades para generar preguntas a enunciados de situaciones problema.

Actividad 0

Crear un PAEV 2 a partir de un PAEV 1. Planteamos una de una operación, lo resolvemos y a partir de los resultados planteamos otros de una operación

Actividad 1

Creamos un PAEV 2 a partir de 2 PAEV 1. Habrá que descomponer cada elemento de los PAEV 1 para generar un único PAEV 2

Actividad 3

Problemas que recogen una historia. Consiste en encadenar problemas que para ser resueltos necesitan del resultado anterior

Actividad 2

Buscamos la pregunta oculta.Se trata de entrenarles en la búsqueda de ese dato que necesitamos pero por el que no nos preguntan

Actividad 4

De un PAEV 2 hacemos 2 PAEV 1.Desgranamos el PAEV2 y al encontrar la pregunta oculta, generamos los del PAEV 1

Actividad 5

PAEV 2

OperaciónProblemaProblemaOperación

primera

OperaciónProblemaOperaciónProblema

segunda

Ahora ya debería poder inventar el problema de 2 operaciones

tercera

Inventar un PAEV 2.Dadas las operaciones, inventamos y estructuramos un problema con las dos operaciones.Jaime MM propone tres secuencias de actividades para lograr este fín nada sencillo, incluso para ilos alumnos ABN, que llevan desde siempre inventando problemas

Actividad 6

Comenzar generando preguntas a los enunciados dados, lo podemos y debemos iniciar desde primero de primaria cuando trabajemos las diferentes categorías. De un trabajo correcto de esta actividad, dependerá el éxito futuro de una parte clave de la comprensión de los PAEV 2, que no es otra que la búsqueda de la pregunta oculta.Depende de la naturaleza del enunciado, podremos hacer una sola pregunta o cabrán más de una.

Después de resolver los dos problemas de 1 operación, unificamos ambos en uno solo,para crear el de 2 operaciones.

En este caso, no vamos a usar un solo problema con la situación entera desde el principio, si no que vamos a ir generando la situación completa (la historia) según vayan sucediendo los hechos y resolviendo en cada momento lo que se plantéa.

Partimos de dos problemas completos de una sola operación, para llegar a generar uno de dos operaciones, quitando lo que no necesitemos y que no resulte redundante.

"Quien es capaz de descubrir elcomponente latente sabe resolver los PAEV 2 porque ello le permite encajar los datos y establecer el orden en el que va a ejecutar las operaciones." Jaime M Montero

Una forma ideal de comenzar es sacando cada uno de los elementos del problema, para así pasar a la redacción de los dos problemas de 1 operación.

Operación - problema - problema - operación

Operación - problema - operación - problema

El viaje de vueltaRutinas diarias de trabajo en aula

1

›inventar un enunciado conociendo la solución›Inventar enunciado conociendo la pregunta y la solución› Inventar la pregunta dado el enunciado

Actividades de construcción de enunciados

›inventar el enunciado dada la pregunta›Inventar un enunciado a partir de una operación› Inventar enunciado dados los datos y operación.

2

›completar enunciado al que le han quitado los datos, poniendo cada uno en su lugar›Relacionar enunciado con pregunta y operación que lo resuelve

Actividades de composición y relación

›separar y redactar preguntas de dos problemas mezclados›Indicar la operación para hayar la solución de varios problemas

3

›Problemas de lógica

Actividades que fomenten el razonamiento

›Problemas difusos

La pastelería del barrio está 3 calles alejada de mi casa. Si voy a la pastelería 2 veces, ¿Cuántas calles está de lejos la pastelería?

Se me ha caído una galleta en el café. Aunque la taza estaba llena, la galleta no se ha mojado ¿Cómo es posible eso?

4

›Sistematizar el trabajo de problemas orales.

Problemas orales (José Miguel de la Rosa)

›Las series deben llevar 10 problemas> Repetimos la misma secuencia 3-4 veces> Una sesión a la semana (15 min.)> Lanzamos 5 problemas, corregimos, y luego los otros 5 y corregimos> La dificultad no debe estar en el cálculo.> No más de 4 categorías en las primeras series, luego vamos variando.

Resolución de problemas y método ABN. Jaime M M, Concepción SEnseñar matemáticas a alumnos con necesidades educativas especiales. Jamie MM Imágenes de Rafa Fabra

Bibliografía

ramonmejiasgonzalez@gmail.com

Ramón Mejías

Gracias