Пирамиды 10 класс

Пирамиды

ВИДЫ ПИРАМИД

1. Правильные пирамиды. 2. Пирамиды с равными двугранными углами при основании. 3. Пирамиды с равными боковыми ребрами. 4. Пирамиды с боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания.

1

2

3

Готовимся к экзаменам

4

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Определение. Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой. Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром. Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники. В средней школе нужно уметь решать задачи, где дана: - правильная треугольная пирамида; - правильная четырёхугольная пирамида; - правильная шестиугольная пирамида. Правильная треугольная пирамида Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения медиан. Запомни: BN:NK=2:1 KD — апофема, NKD и NLD — двугранные углы при основании пирамиды, DCN и DBN — углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Правильная четырёхугольная пирамида Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата). ML — апофема, MLO — двугранный угол при основании пирамиды, MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Правильная шестиугольная пирамида Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника). SE = h — апофема, OES — двугранный угол при основании пирамиды. Формулы. Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы: Sб=1/2Pоснования⋅h и Sб=Sоснования/cosϕ, где P — периметр основания, h — апофема, ϕ — двугранный угол при основании. Объём пирамиды V=Sосн⋅H, где H — высота пирамиды.

ПИРАМИДЫ С РАВНЫМИ ДВУГРАННЫМИ УГЛАМИ ПРИ ОСНОВАНИИ

• Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Чтобы легче это запомнить, можно представить, что смотрите на пирамиду сверху. Проекции высот боковых граней пирамиды равны, через их концы можно вписать окружность. Для таких пирамид при вычислении площади боковой поверхности применяются формулы, которые используются для правильной пирамиды. Sб =Pоснования⋅h и Sб = Sосн./cosϕ, где h — высота боковой грани, ϕ — двугранный угол.

1. У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.

Главные зависимости для многоугольников, в которые можно вписать окружность Многоугольник Центр вписанной окружности Формулы Любой треугольник Точка пересечения биссектрис r =SΔ/p, где p — полупериметр Ромб Точка пересечения диагоналей r = Sромба/p r— половина высоты ромба

ПИРАМИДА С РАВНЫМИ БОКОВЫМИ РЕБРАМИ Если боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то боковые рёбра пирамиды равны, и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около многоугольника основания Чтобы было легче запомнить, можно представить вид пирамиды сверху. Проекции рёбер равны, через их концы можно провести окружность. У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность. Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды. Ss=S1+S2+... Если основание — правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.

ПИРАМИДА С БОКОВЫМ РЕБРОМ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМ ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ

• Если у пирамиды одно ребро перпендикулярно плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в одну из вершин основания.

На рисунке дана треугольная пирамида с ребром DA, перпендикулярным основанию. DA — перпендикулярное основанию ребро, DA также является высотой, ΔDAC и ΔDAB – прямоугольные треугольники, угол DEA — двугранный угол при основании. На следующем рисунке дана пирамида, основание которой — прямоугольник. Ребро SB перпендикулярно основанию, SB также является высотой, ΔSBA и ΔSBC — прямоугольные треугольники. Если основание — прямоугольник, то ΔSAD и SCD — прямоугольные треугольники. По теореме о трех перпендикулярах: üЕсли прямая AD перпендикулярна проекции наклонной AB, то она перпендикулярна и наклонной SA. üЕсли прямая CD перпендикулярна проекции наклонной BC, то она перпендикулярна и наклонной SC. У таких пирамид площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней Ss=S1+S2+... Нельзя использовать формулу правильной пирамиды. Формула нахождения объёма применяется для всех видов пирамид: V=1/3Sоснования⋅H