Ejercicios de SUPERFICIES

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LISTA de EJERCICIOS

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EN TODOS LOS SISTEMAS

Clases de apoyo TORRES-AZA Madrid

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En cuaquier sistemaCLIK

Ejercicios procedentes de la E.T.U. Ingeniería CIVIL de Madrid SUPERFICIES en todos los Sistemas: del 1 al 19.- 1. Pirámide. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel apaisado. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. El punto G (-10; 5; 0) es el centro de un hexágono regular ABCDEF de 4 cm de lado, con el lado AB paralelo a la línea de tierra y lo más próximo posible a ella. A a la izquierda de B. El punto V (-6; 0; 6) es el vértice de la pirámide V.ABCDEF. El plano P pasa por el punto (-2; 0; 0) formando su traza vertical con la línea de tierra un ángulo de 30º y siendo su traza horizontal paralela al lado CD. se pide: 1º Determinar la sección de la pirámide por el plano P y la verdadera magnitud de la sección, aplicando homología, determinando previamente el centro, el eje y la recta límite para obtener la sección y su verdadera magnitud. 2º Desarrollo de la pirámide y transformadas de la base y de la sección plana. 2. Pirámide. Diédrico. (Práctica 94-95).Papel vertical . Origen centrado. Coordenadas en mm. En el plano a (21; 57; 11) está el punto O (-19; 49; z), que es centro de un hexágono regular de 30 mm de lado, con un vértice en la traza horizontal de a y con el vértice opuesto en una perpendicular a dicha traza en la parte vista del plano. Esta hexágono es la base de una pirámide regular, cuyo vértice V coincide en proyección horizontal con el abatimiento de O alrededor de la traza horizontal y a su derecha. Suponiendo que se prolongan las caras laterales de la pirámide hasta el plano horizontal, se pide: 1º Hallar las proyecciones de la pirámide apoyada sobre a. 2º Dibujar la traza horizontal de la superficie piramidal. 3º Desarrollo de las caras laterales de la pirámide definida al cortar la superficie piramidal por el plano horizontal. 4º Transformada de la base hexagonal de la pirámide pri 3. Pirámide. Diédrico. El hexágono regular VABCDA es parte del desarrollo de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular de vértice V y de arista lateral VC= 12 cm. Se pide: 1º Lado de la base de la pirámide. 2º Altura de la pirámide. 3º Desarrollo completo de la misma. 4º Representación diédrica colocándola de manera que la proyección horizontal de VC forme 60º con la línea de tierra. 5º Angulo formado por los planos ABD y CBD. Tiempo: 1 hora. 4. Prisma. Diédrico. (Práctica 94-95). Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. Los rectángulos ABCD y MNPQ, determinan sendas bocas de una conducción de aire acondicionado, que deben unirse por medio de una chapa en forma de prisma oblicuo. Se pide: 1º Representación de las proyecciones de dicha pieza. 2º Desarrollo del prisma. M (-2,5; 9; 8,5), N (-2,5; 4,5; 8,5), P (3,5; 4,5; 8,5), Q (3,5; 9; 8,5), A (2; 7,5; 2,5), B (2; 3; 2,5), C (8; 3; 2,5), D (8; 7,5; 2,5). 5. Prisma. Diédrico. Papel vertical. Origen centrado. Los puntos A (0; 2; 0) , B (6; 4; 0), C (5; 9; 0), D (0; 11; 0) y E (-5; 7; 0) definen la base de un bloque de mármol de forma prismática y altura 10. Las aristas de dicho bloque son frontales y forman 85º con el suelo, ascendiendo hacia la izquierda. De dicho bloque se quiere obtener mediante cortes planos verticales, un prisma recto cuadrangular para fabricar baldosas cuadradas lo más grandes posibles y de 3 cm de grosor. Se pide: 1º Medidas de la baldosa máxima. 2º Superficie que se podrá cubrir teniendo en cuenta que en cada corte se pierde 1 cm. 3º Peso de una baldosa en kilogramos sabiendo que un metro cúbico de mármol pesa 3200 kilopondios. 6. Prisma. Acotados. Papel vertical. Origen, esquina inferior izquierda del papel. Coordenadas en cm. El cuadrilátero A (6; 7; 0), B (12; 4; 0), C (16; 10; 0) y D (10; 12; 0) es la base de un prisma oblicuo, de altura 6 cm. Sabiendo que la cara que pasa por AB tiene de pendiente 1/ 2 y la que pasa por BC, 2/ 3, dibujar la proyección del prisma. Hallar la longitud de las aristas, así como la sección recta por un plano que contiene al punto L, de cota 2, y que está situado en la arista que pasa por el punto D. Determinar la verdadera magnitud de dicha sección recta. Desde el 7 al final en Clases de apoyo TORRES-AZA 7. Cono. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. El eje de un cono de revolución está definido por el vértice V (1; 2,5; 3) y el punto O (-3; 6; 0), siendo su semiángulo igual a 15º. Hallar las trazas de dicho cono con los planos de proyección. 8. Cono. Diédrico. Un cono de revolución tiene por base el círculo de centro (-1; 4; 0) y radio 3 cm y por vértice el punto V (-1; 4; 6). 1º Hallar la sección por el plano de canto que pasa por el punto (-5; 0; 0) y forma 45º con el plano horizontal. 2º Obtener el desarrollo y transformadas de la base y de la sección, abriendo la superficie por el punto A ( -4; 4; 0). Nota.- Determinar los puntos de inflexión con sus tangentes, de las transformadas, si los hay. 9. Cono. Diédrico. El punto V (3; 2; 5) es el vértice de un cono de directriz una circunferencia contenida en el plano horizontal de radio 2,5 y centro O (0; 6; 0). Determinar la traza del cono comprendida entre el vértice y el plano horizontal. Trazar los planos tangentes desde el punto P (5,5; 4; 2). Clases de APOYO TORRES-AZA Clases a Domicilio 10. Cono. Diédrico. El punto (-2; 2,5; 0) es el centro de un círculo de 2,5 cm de radio situado en el plano horizontal, y el punto V (0; 2, 2) es el vértice de un cono de directriz el círculo y generatrices ilimitadas. Obtener la sección completa del cono por el plano bisector del segundo diedro, aplicando homología y determinando previamente el centro, eje y la recta límite. 11. Cono. Diédrico. El segmento VC: V (-5; 8; 8) , C (-1; 5; 6) es el eje de un cono recto de revolución de base el círculo de centro C y diámetro 5 cm. Adosado a la base y coincidiendo con ella está la base superior de un cilindro recto de 3 cm de altura. La base inferior del cilindro es la base de un cono idéntico al primero y de vértice a la menor altura. 1º Representar el conjunto formado por los tres cuerpos. 2º Desarrollo. 3º Área y volumen del cuerpo, expresando las fórmulas utilizadas para el cálculo exacto. 12. Cono. Diédrico. El punto (2; 6; 0) es el centro de una circunferencia de radio 5 cm situada en el plano horizontal, que es base de un cono de revolución de 9 cm de altura. Los puntos L (-6; 0; 0), M (-4; 12; 0) y N (2; 0; 7) definen un plano. Se pide: a) Hallar la sección del plano LMN con el cono. Se determinarán los ejes (AB eje mayor y CD eje menor) de la cónica sección, sólo en proyección horizontal. b) Determinar los puntos de inflexión (I, J) de la transformada de la sección, así como las generatrices que los contienen. c) Determinar en proyección horizontal las tangentes a la sección en los puntos de inflexión, así como en los extremos A, B , C y D de los ejes de la cónica sección. d) Hallar los ángulos (valor numérico) que forman las generatrices que pasan por los puntos I, J, A, B, C y D con las tangentes en dichos puntos a la cónica sección. Tiempo: 1 hora. 13. Cono. Diédrico. Un tronco de cono recto está apoyado en el plano horizontal sobre una de sus generatrices AB, A (-2; 3; 0), B ( 2; 7; 0). Sabiendo que sus diámetros son 9 y 5 cm, se pide: Proyecciones diédricas de dicho cuerpo colocándolo de manera que el centro de su base menor tenga mayor alejamiento que el de su base mayor. Tiempo: 1 hora. Nota: No se admiten aclaraciones al enunciado. 14. Cono. Acotados. Se da el cono de directriz circular en el plano de proyección, con centro O (70; 90; 0) y radio 47. El vértice es V (162; 131; 50). Se pide: 1º Sección por el plano de traza x= 150, que forma 45º con el plano de proyección y corta al cono por encima de dicho plano. 2º Verdadera magnitud de la sección. 3º Puntos de inflexión y transformadas, con tangentes en los puntos de inflexión. Nota: se resolverá aplicando homología. 15. Cono. Central. La recta r, Tr (148; 167), L´r (90; 98) es el eje de un cono de revolución cuyo vértice Tr. El punto A´(144; y) es un punto de la circunferencia de la base del cono, siendo a una recta que lo contiene: Ta ( 165; 105), L´a ( 111; 167). Se pide: 1º Dibujar la proyección central del cono. 2º Altura del cono y ángulo cónico. 16. Cono. Perspectiva Cónica. Datos de la perspectiva: Línea de tierra y= 6. Línea de horizonte y= 13. Punto principal (15, 13). La distancia del punto de vista al plano del cuadro es 4. pasa por el punto (22; 6). Se pide: Un plano una circunferencia de radio 4 y centro C, tangente a las trazas con el plano del cuadro y con el plano geometral, y situada detrás del plano del cuadro. (Se valorará la determinación de los ejes de la elipse).1º Dibujar en el plano 2º Perspectiva del cono de revolución que tiene por base la circunferencia anterior y tiene su vértice V en el plano del cuadro. 3º Hallar la verdadera magnitud de la altura del cono VC. 4º Hallar la traza Tg de la recta VC con el plano geometral y la verdadera magnitud VTg. Tiempo: 1 hora. 17. Cono. Perspectiva Caballera. Se da el plano ABC (51; 67; 83), en el que la circunferencia inscrita a su triángulo de trazas es base de un cono de revolución de 120 de altura. Se pide: Representar la perspectiva directa de dicho cono. = 2/ 3. 18. Cono. Perspectiva Caballera. Un plano P corta a los ejes en los puntos L, M y N y forma un ángulo de 65º con el plano XOY. L (6; 0; 0), N (0; 0; 9) y M sobre la región positiva del eje OY. Sobre este plano P se sitúa una circunferencia que se apoya en los planos ZOX, XOY y YOZ. Esta circunferencia es la base de un cono recto de revolución de 10 cm. de altura. Se pide dibujar el cono. Tiempo: 60 minutos. 19. Intersección de dos conos. Diédrico. Hallar la intersección de los conos siguientes: El primero, de vértice W (-6,5; 12; 1,5) y base de centro ( 2,5; 0; 3,5) y radio 3. El segundo, de revolución, de vértice V (0; 4,5; 7) y radio de la base 3,5 estando situada esta en el horizontal.

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DEL 20 AL 39 20. Intersección de dos conos. Acotados. Se dan las siguientes superficies radiadas: Un cono de vértice V ( 20; 4,5; 4) y directriz circular de radio 4 y centro O (8,5; 11,5; 0). Otro cono de vértice W (12; 4,5; 8) y directriz circular de radio 2,5 y centro C (17,5; 9,5; 0). Hallar la intersección de ambas superficies. Dibujar el cono de vértice V, suprimiendo la parte común con el otro cono. 21. Cilindro. Acotados. Se da un cilindro oblicuo de base circular apoyado en el plano de referencia. su centro es O (6,1; 10,3) y el radio 3,7. La línea que une los centros de las secciones paralelas a la base está en la dirección de la mayor dimensión del papel y tiene por módulo 2. dicho cilindro se corta por un plano de talud 1, cuya traza es la recta M (4,2; 1,5), N (20,8; 18,1) ascendiendo hacia la izquierda. Se pide: 1º Sección por el plano y su verdadera magnitud. 2º Sección recta por un plano cuya traza pasa por la proyección del punto de la línea de centros de cota 7. Verdadera magnitud de la sección recta. 3º Desarrollo y transformadas de la base y las dos secciones, indicando puntos de inflexión, tangentes en los mismos y tangentes normales a las generatrices. 22. Cilindro. Axonométrica Isométrica. En el plano ABC (2; -3; 4) se da un círculo tangente a las trazas en la zona vista del triedro de referencia. Se pide: Dibujar el cilindro limitado por dicho círculo y su proyección sobre el plano XOY. = 135º. Angulo de la proyectante 60º. 23. Cilindro. Caballera. La recta e es el eje de un cilindro de revolución de diámetro igual a 30 mm, y está definido por los puntos A y B, A (0; 39; 102), B (117; 143; 0). Se pide: 1º Dibujar la perspectiva directa del cilindro con sus trazas en las tres caras del triedro de referencia. 2º Sección recta por el punto I, situado en el eje a la cota 50. 24. Cilindro. Caballera. perpendicular a XOZ, que forma 45º con el XOY. Se pide:El punto C (4; 5; 0) es centro de una circunferencia de radio 3 situada en el plano XOY. Dicha circunferencia es la directriz de un cilindro de revolución. Por el punto A (4; 5; 5) se traza un plano y el XOY.1º Representar la perspectiva directa del cilindro truncado comprendido entre el plano 2º Dibujar las generatrices del cilindro truncado más alejadas y más cercanas a los planos XOZ e YOZ, indicando las verdaderas magnitudes de dichas generatrices. con el cilindro y de 8,5 cm de altura.3º Dibujar el cono recto de base la sección del plano Tiempo: 1 hora. 25. Intersección de dos pirámides. Diédrico. Se dan dos pirámides, una de vértice V (6; 10,5; 2) y base A (-1,5; 0; 1), B (-6; 0; 3), C (-8; 0; 8), D (-3; 0; 7,5), E (0; 0; 3,5) y otra de vértice W (-2; 4; 8,5) y base L (4,5; 5; 0), M (2; 2; 0), N (-4; 1; 0), P (-6; 4; 0), S (0; 8; 0). Se pide: 1º Intersección de las dos pirámides. 2º En hoja aparte, dibujar las proyecciones del sólido común. Tiempo: 1 hora. 26. Intersección de dos pirámides. Acotados. El cuadrilátero ABCD, sobre el plano de comparación, es la base de una pirámide de vértice T (10). El triángulo LMN, también sobre el plano de comparación, es la base de otra pirámide de vértice el punto V (10). Se pide: 1º Representar ambas pirámides con su intersección. 2º Representar aparte el sólido común con todos sus vértices acotados. A (8; 2), B (3; 10), C (6; 16), D (13; 8), L (16; 11), M (23; 5), N (21; 18), V (7; 10), T (22; 15). 27. Intersección de prisma y cubo. Axonométrica Dimétrica (2; 1; 2). Un cubo de 6 cm de arista, cuyas aristas coinciden con los ejes del sistema y situado en el primer diedro, tiene el vértice anterior derecho de la cara superior truncado según un plano que pasa por los puntos medios de las aristas que pasan por dicho vértice. La sección producida por dicho plano es la sección recta de un prisma oblicuo limitado por el plano XOY y con su arista igual a 12 cm. Se pide: 1º Dibujar la perspectiva axonométrica del cubo y el prisma. 2º Intersección de ambos cuerpos. 3º Sólido común. 28. Intersección de dos prismas. Axonométrica. Se define la perspectiva axonométrica sabiendo que el eje OX forma un ángulo de 45º con el plano del cuadro y el eje OZ forma un ángulo de 30º con el plano del cuadro. Los puntos A (1; 3; 0), B (2; 6; 0), C (6; 7; 0), D (8; 2; 0) y E (4; 1; 0) son la base de un prisma cuya arista lateral que parte de A pasa por el punto A´ (4; 0; 10). Los puntos M (8; 0; 0), N (9; 6; 0), O (15; 5; 0) y P (13; 2; 0) son la base de otro prisma cuya arista lateral que parte de M pasa por el punto M´(0; 0; 10). Se pide: 1º Dibujar los ejes de la perspectiva axonométrica. 2º Dibujar la intersección de los dos prismas, dejando constancia de las partes vistas y ocultas. 3º Dibujar el sólido común. Tiempo: 1 hora. 29. Intersección de dos cilindros. Diédrico. Los círculos C-1 y C-2 están sobre el plano horizontal y tienen respectivos centros (-5; 4; 0) y (4; 5; 0) y radios r= 3 y r=4 respectivamente. Ambos círculos son las bases de dos cilindros de generatrices paralelas al plano vertical de proyección. Las generatrices de C-1 forman 60º con el horizontal y las generatrices de C-2 forman 45º con el mismo plano. Hallar su intersección. 30. Intersección de prisma y cilindro. Diédrico. Se pide la intersección del cilindro de revolución, con la base apoyada en el horizontal, de centro O (-34; 46; 0) y radio 34, con una altura de 82, y el prisma con base ABCD apoyada en el plano vertical, siendo la dirección de sus aristas la recta AM. A (23; 0; 13), B (23; 0; 49), C (66; 0; 68), D (96; 0; 31), M (-68; 65; 0). Dibujar el sólido común. Clases de APOYO TORRES-AZA Clases a Domicilio 31. Intersección de cono y cilindro. Diédrico. Sobre el plano horizontal se dan dos circunferencias: Circunferencia C-1 de centro A (-5; 6; 0) y radio R= 5. Circunferencia C-2 de centro B (4; 6; 0) y radio R= 3. C-1 es la base de un cono de vértice V (-1; 6; 12) y C-2 es la base de un cilindro de eje BE; E(0;5;5). Se pide la intersección de ambos cuerpos dejando constancia de las partes vistas y ocultas. Clases de apoyo TORRES-AZA WhatsApp.- +34670720583 32.Intersección de cilindros. Axonométrica Isométrica El eje de una tubería cilíndrica es una recta vertical que pasa por A (0; 5; 0). El eje de otra tubería es la recta BC: B (8; 10; 0) y C (8; 0; 10). Una tercera tubería, cuyo eje corta a los de las anteriores, es perpendicular a ambas. Sabiendo que las tres tuberías tienen el mismo diámetro de 5m, se pide: 1º Perspectiva directa del encuentro de las tres tuberías. 2º Traza 1ª (sobre XOY) de las dos primeras. Nota: se dejará constancia de las partes ocultas. 33. Intersección de cilindro y cono. Caballera. Hallar la intersección del cilindro de revolución con base en XOY, radio 4 y centro de la base C (9; 8; 0) y el cono de revolución con base en XOZ, de radio de la base 4, centro de la misma, P (9; 0; 7) y vértice V (9; 20; 7). (Hallar los puntos de tangencia de las curvas de intersección con las generatrices del contorno aparente. Determinar la elipse de la base del cilindro con ejes y focos para el correcto trazado de sus generatrices del contorno aparente). 34. Intersección de dos cilindros. Caballera. Dos cilindros de centros M (8; 0; 6) y N (2,5; 0; 2,5) de radios 3 y 2,5 respectivamente son las bases de dos cilindros. El de base con centro en M corta al plano XOY según otro círculo y el de base con centro en N tiene su eje paralelo a la bisectriz del ángulo formado por los ejes OX y OY. Se pide hallar la intersección de los dos cilindros. 35. Intersección de dos cilindros. Caballera. Se dan dos cilindros rectos de diámetro igual a 5 cm, cuyos ejes se cortan en el punto P (5; 5; 8) de modo que el eje de uno de ellos es vertical y el otro, horizontal y paralelo al eje OX. El cilindro vertical tiene su base en XOY y su altura es de 16 cm. El horizontal tiene una altura de 14 cm, equidistando sus bases del punto P. Se pide: 1º Representar la perspectiva directa de ambos cilindros. 2º Intersección de ambos cilindros. 3º Sólido común y verdadera magnitud de la intersección. 4º Desarrollo del cilindro vertical y transformada de la intersección. Tiempo: 1 hora y cuarto. 36. Esfera. Diédrico. Se da la esfera de centro O (0; 5; 5) y radio 3. Se pide: (5; 7; 6), indicando partes vistas y ocultas y tangencias con el contorno aparente.1º Sección por el plano , tangentes a la esfera, indicando puntos de tangencia.2º Trazar los planos paralelos al 37. Esfera. Diédrico. El punto O (-40; 40; 40) es el centro de una esfera de radio 25. Se pide: Trazar el cilindro tangente a la esfera cuyas generatrices son paralelas a la dirección AO. A (0;52;0).Dibújese la circunferencia de tangencia con la esfera e intersección del cilindro con el plano horizontal. 38. Esfera. Diédrico. Se dan la esfera de centro O (0; 41; 49) y radio 32, y la recta AB, A (49; 41; 49), B (71; 26; 0). Se pide: Dibujar los planos tangentes a la esfera que pasan por la recta AB; indicando sus trazas y los puntos de tangencia, así como las proyecciones del círculo máximo que los contiene. 39. Esfera. Diédrico. forma con el plano horizontal un ángulo de 30º y sus trazas forman entre sí en el espacio un ángulo de 90º, pasa por el punto A (-3; 6; 3) y corta a la línea de tierra a la izquierda de esta, ascendiendo hacia la derecha.Un plano . Se pide:El punto A es el centro de un círculo de 2 cm de radio situado en el plano , horizontal de altura 7 cm. (La esfera estará totalmente situada en el primer diedro).1º Representar la esfera que pasa por el círculo y es tangente al plano 2º Sombra propia y arrojada sobre los planos de proyección con luz paralela, tal que el punto A arroja su sombra sobre el punto B (2; 0; 0).

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Clases de APOYO TORRES-AZA Madrid WhatsApp - +34670720583 DEL 40 AL 59.- 40. Esfera. Diédrico. Se da la esfera de centro O (0; 49; 49) y radio 39. Hallar las proyecciones del cubo circunscrito a ella, de modo que una de sus caras sea paralela a un plano que forma 64º con el horizontal y es perpendicular al primer bisector, cortando a la línea de tierra a la izquierda de O: El cubo tiene un vértice en el plano horizontal con el mayor alejamiento posible y a la derecha de O. Dibujar también el octaedro inscrito a la esfera, conjugado del cubo. 41. Esfera. Diédrico. Dos esferas de radio 2 cm tienen sus centros en A (-4,5; 3; 2) y B (-4,5; 9; 2). Una tercera esfera de radio desconocido rueda por el plano horizontal manteniéndose tangente al vertical y colocándose tangente a las dos primeras esferas de centros A y B. Se pide: 1º Dibujar con partes vistas y ocultas la situación final de las tres esferas. 2º Determinar los puntos de tangencia. 42. Esfera. Diédrico. ).La zona rayada del croquis representa el alzado de una cabina de plástico para un teléfono público, formada por una superficie esférica, de centro O (-1; 5; 6) tangente a una pared representada por el plano Dibujar las proyecciones de la cabina. (El espesor de la superficie se considera inapreciable). 43. Esfera. Diédrico. En una semiesfera hueca de espesor apreciable, tangente al plano horizontal, y de radio 6 cm se introducen dos esferas macizas de radios 1,5 y 2 cm respectivamente. Suponiendo las tres esferas totalmente transparentes y colocadas de manera que la proyección horizontal de la línea de sus centros forma 30º con la línea de tierra, se pide: 1º Representación diédrica de las tres esferas. 2º Determinación de los puntos de tangencia. 44. Esfera. Acotados. El punto O (12; 7; 4) es el centro de una esfera de radio 3 cm. Hallar la sombra propia y arrojada con luz focal, F (5; 7; 11). Se hallarán los ejes de las elipses correspondientes a la sombra arrojada y a la circunferencia que separa la luz de la sombra propia. Asimismo se indicarán en la esfera los puntos que en el contorno aparente separan las partes vistas y ocultas de la sombra propia. 45. Esfera. Central. . En él hay una circunferencia de diámetro igual a 70 cm, cuyo abatimiento figura en el dibujo.En el sistema definido en el dibujo adjunto se da el plano Dicha circunferencia es la base de un cilindro recto de 70 cm de altura coronado por una cúpula semiesférica tangente al cilindro. Dibujar la proyección central del sólido formado por el cilindro y la semiesfera. 46. Esfera. Central. Una esfera de 4 cm de radio y centro en el plano del cuadro en el punto de coordenadas (10; 20) con respecto a la esquina inferior izquierda del papel, se ve en proyección central como un círculo de 5 cm de radio. Averiguar la distancia principal VP y obtener la proyección central de dicha esfera si su centro se desplaza a un punto del círculo de distancia a lo largo de una recta paralela a los lados mayores del papel. Tiempo: 30 minutos. 47. Esfera. Acotados. Un depósito se ja proyectado incrustando una esfera de radio 6 m. en una ladera plana como indica el croquis. Sabiendo que el punto más alto de dicho depósito tiene de cota 20 m. Se pide: 1º Representar a escala 1:100 el conjunto del terreno y depósito dibujando solamente las líneas de nivel desde la 6 a la 20 con equidistancia de 1 metro. 2º Sombras con luz a 45º de izquierda a derecha. Proyección de L paralela a las líneas de nivel del terreno. Tiempo: 1 hora. 48. Esfera. Perspectiva Cónica. El croquis adjunto es el abatimiento del plano perpendicular al geometral que contiene al punto de vista V, y el centro de una esfera O, de 4 m de radio. el plano del cuadro forma 60º con el geometral y la recta VP pasa por O. Se pide: 1º Representar la esfera en perspectiva cónica (incluyendo su proyección sobre el plano geometral). 2º Hallar el punto de fuga de las proyectantes de la esfera sobre el plano geometral. Escala 1:100. Tiempo: 45 minutos. Clases de APOYO TORRES-AZA Madrid WhatsApp - +34670720583 49. Esfera. Axonométrica. Isométrica. En la lámina adjunta se han representado los puntos A, B y C. El punto B está contenido en el plano YOZ y el C en el XOY. El punto A tiene 7,5 cm de cota. Se pide: Determinar la esfera que pasando por A, B y C tiene su centro sobre XOY. 50. Esfera. Axonométrica. El punto C1 (4;2;0) es la proyección del centro C de una esfera de radio 4 cm, sobre el plano XOY. Sabiendo que el punto C dista 9 cm del plano del Ecuador que pasa por O (plano de referencia), dibujar la perspectiva directa de la esfera. Hallar la intersección con la esfera y las verdaderas magnitudes de: a) Recta que pasa por C1 y es perpendicular al plano XOY. (La verdadera magnitud será la distancia entre los puntos de intersección. b) Plano paralelo al plano del cuadro y dista 6,5 cm de O. c) Plano perpendicular al eje Z y que pasa por (0;0;10). 51. Esfera. Axonométrica. Es sabido que el planeta Saturno tiene en su "plano Ecuador" un anillo formado por polvo cósmico. Suponiendo que dicho planeta tiene su eje Norte-Sur definido por A (2;0;5) y C (2;2;1); C es centro del planeta (esfera) de radio igual a 2 cm, se pide: Perspectiva isométrica directa de dicho "planeta" rodeado de un anillo plano (que supondremos de espesor no apreciable) de diámetros 6 y 12 cm, omitiendo partes ocultas. Tiempo: 1 hora. 52. Esfera. Axonométrica 45º sean los ángulos que forma OZ y OY con el plano del cuadro.Se define un sistema Axonométrico de manera que: Un plano P está definido por los puntos A (4;0;0), B (0;-8;0) y C (0;0;9). Una esfera de 7 cm de diámetro, rueda por el plano XOY hasta quedar tangente al plano de proyección ZOX y al P. Se pide: Proyección directa de la esfera, determinando los tres puntos de tangencia. Tiempo: 1 hora. 53. Esfera. Caballera. cm2.Representar una esfera de centro el punto C (5;6;6) sabiendo que su superficie mide 36 Dibujar las secciones con la esfera de los planos paralelos al plano del cuadro y que pasan por el centro y por delante de este a las distancias de él de 1;2;2;5;2,75 cm respectivamente. Hallar las trazas del plano tangente a la esfera en el punto de mayor cota, determinando el punto M de tangencia. 54. Intersección de esfera y cono. Diédrico. Se pide la intersección de la esfera de centro O(0;62;42) y radio 34, con el cono de revolución con base en el horizontal de centro C (24;48;0), radio 34 y altura 80. Dibujar el sólido común. 55. Intersección de esfera y cono. Diédrico. que forma 22,5º con el plano de proyección, ascendiendo también de derecha a izquierda. Se pide:El punto O (12;15;4) es el centro de una esfera de 4 cm de radio. Dicha esfera se corta con el plano dibujando las proyecciones de estas y la traza del cono.Hallar la proyección del cono secante a la esfera que corta esta según las secciones producidas por 56. Intersección de esfera y pirámide. Diédrico El triángulo A (-21;1080) B (64;37;0) C (-53;17;0) es la base de una pirámide de vértice V, cuyas caras concurrente en él forman un triedro trirectángulo. (V por encima del horizontal). Se pide: 1º Hallar la intersección de dicha pirámide con una esfera de centro V y radio 40 mm, determinando en la proyección horizontal los ejes de las elipses producidas en cada cara. 2º Destacar las proyecciones de la pirámide suprimiendo el sólido común con la esfera y la propia esfera. 3º Desarrollo de las caras de la pirámide sin el sólido común. Tiempo: 1 hora. 57. Helizoide desarrollable. Diédrico. Dibujar el helizoide desarrollable con el núcleo apoyado en el horizontal, de 2 cm de diámetro y paso 6 cm, entre el plano horizontal y el plano de cota 6. 58. Superficie de igual pendiente. Diédrico-Acotados. Por medio de una rampa de planta circular y pendiente 1/3,1416 se accede desde AB hacia la recta horizontal CD. Talud de terraplenes 3/4. Escala 1:100. Se pide: 1º Definir las proyecciones diédricas de la rampa y sus terraplenes hasta el plano horizontal. 2º Dibujar en planta las líneas de nivel con equidistancia de 1,20 m. 59. Toro. Diédrico. Dada la superficie tórica de centro O (0:7:3), diámetro 10 y diámetro del círculo generador 3,5 , se pide: (-6;&;3;5).1º Intersección con el plano (-6;&;z), tangente a la superficie interna del hemitoro superior.2º Intersección con el plano tangente En los tres casos se hallará la verdadera magnitud de la intersección y se indicará el nombre de la curva obtenida.

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4 EJERCICIOS de SUPERFICIES

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Clases de APOYO TORRES-AZA Madrid WhatsApp - +34670720583 DEL 60 AL 72.- 60. Toro. Diédrico. Se dan los círculos de la figura adjunta, que se sabe son la sección por el plano bitangente de un toro de revolución. Se pide: 1º Dibujar en el sistema Diédrico la planta y el alzado del toro, suponiéndole apoyado en el plano horizontal. 2º Dibujar el plano bitangente (según plano de canto ascendiendo de izquierda a derecha) y la sección producida. Tiempo: 30 minutos. 61. Toro. Diédrico Una superficie tórica tiene 15 y 3 m de diámetros mayor y menor respectivamente. Cortando dicha superficie por dos planos que pasen por su centro y por otros dos perpendiculares a su eje de revolución, se obtiene una bóveda que supondremos de espesor no apreciable. Se pide: A escala 1:100 y con los datos del croquis, hallar planta y alzado de la bóveda colocándola de manera que su plano de simetría forme 45º con el vertical de proyección. 62. Paraboloide. Diédrico. Las rectas AB y CD definen un paraboloide. A (-5;4;0), B (-2;0;5), C (6;6;0), D (3;10;7). Se pide: 1º Contorno aparente. 2º Centro y eje. 3º Planos principales. 4º Verdadera magnitud de la parábola principal. 63. Paraboloide. Diédrico. La recta AC A (0;12;0) C (0;0;0) es la diagonal de un cuadrado situado en el horizontal. Dicho cuadrado es la proyección horizontal de una cubierta cuyas cumbreras son las paralelas medias a los lados del cuadrado y tienen cota 6. Los cuatro cuadrados resultantes en planta definen sendos paraboloides hiperbólicos. Se pide: 1º Dibujar la planta y el alzado de la cubierta con generatrices y directrices cada décima parte del lado de cada uno de los cuatro cuadrados. (Sólo partes vistas). 2º Verdadera magnitud de las secciones por las dos diagonales del cuadrado original. 3º Sección por el plano horizontal de cota 4. 64. Paraboloide. Acotados Se dan los puntos A (-16;16;32), B (16;-16;32) y D (-16;-16;0). Un terreno está engendrado por rectas que, apoyándose en las AD y BC, se mantienen paralelas a plano proyectantes de trazas AB o CD. Se pide: 1º Líneas de nivel del terreno con equidistancia 2 m. 2º Perfil longitudinal por AC. 3º Perfil longitudinal por BD. 4º Intersección del terreno con un plano horizontal a la cota 16. 5º A la cota 24 se proyecta una plataforma horizontal de forma circular con centro en origen de coordenadas, radio 8 m y taludes de 0,5. Dibujar la intersección del terraplén con el terreno. Tiempo: 1 hora. 65. Paraboloide. Acotados. Se dan en planta los ejes de las calles A y B. En cada uno de ellos se indican los puntos de cota 10. La calle A, de 6 m de anchura, asciende en el sentido de la flecha, con una pendiente del 10%, y la B, del mismo ancho, asciende en el sentido de la flecha, con un módulo de 15 dm. Se quieren unir ambas calles por una tercera, C, del mismo ancho, que tenga la longitud mínima entre las calles A y B. Se pide: Dibujar el conjunto con curvas de nivel cada dm, indicando el tipo de superficie obtenida en el tramo C y el tipo de curvas a que corresponden sus curvas de nivel. Tiempo: 1 hora. 66. Paraboloide. Acotados. Los velódromos tienen tramos rectos horizontales y tramos "en curva" que se proyectan como troncos de cono recto. Para pasar del tramo recto al tramo "en curva" se necesita una superficie de acuerdo (paraboloide) marcada ABCD en el plano adjunto. Al aproximarse a la curva, los ciclistas suben a las cotas altas y se lanzan aprovechando la máxima diferencia de nivel. Se pide: 1º Curvas de nivel de la pista cada medio metro. 2º Perfil longitudinal del recorrido que realizó INDURAIN en Anoeta: MNPQ. Tiempo: 1 hora. 67. Paraboloide. Acotados. La planta adjunta representa el cruce de dos calles A y B, indicándose la cota de las cuatro esquinas. Tomando como directrices las aristas LP y MN, y NP y LM, y planos directores los paralelos a los lados del papel, se pide: 1º Representar mediante líneas de nivel a las cotas 100; 100,03; 100,06; ...100,30; 100,33y 100,36, el estado en que quedaría dicho cruce, indicando la clase de cónica que son dichas curvas de nivel y porqué. Se prolongarán las líneas de nivel fuera del cruce. 2º Dibujar las parábolas principales, tomando como escala vertical 1:2 y horizontal 1:100. 68. Paraboloide. Caballera. El cuadrilátero alabeado ABCD define un paraboloide hiperbólico. A (5;10;0), B (10;5;8), C (5;0;0) y D (0;5;8). Se pide: 1º Hallar su perspectiva directa y su proyección sobre XOY trazando generatrices y directrices según divisiones de cada lado en 10 partes. 2º Dibujar las parábolas principales, así como su verdadera magnitud. 3º Suponiendo que del punto D parte un tirante (una recta) hacia el plano XOY que forma 90º con el plano ADC, determinar la dirección de ese tirante. Lo mismo con un tirante que parta de B y sea perpendicular al plano ABC. 4º Angulo formado por los dos tirantes. Tiempo: 1 hora. 69. Paraboloide. Caballera. Se da un cubo de arista 8 cm apoyado en el triedro de referencia y todo él en la zona vista. Se pide: Dibujar la porción del paraboloide interior al cubo, limitado por la cuerda de 8 cm paralela a OX, con el vértice en el plano XOY, y otra parábola directriz situada en una cara paralela al plano YOZ, igual a la anterior, con la cuerda paralela a OY y con el vértice en la cara superior del cubo. Dibujar las generatrices rectilíneas al plano director (8;8;&). 70. Hiperboloide. Diédrico. El segmento A1L1, proyección horizontal del segmento AL, es el lado de un octógono estrellado, cuyo centro tiene el mismo alejamiento que A, siendo el radio de la circunferencia circunscrita al octógono igual a 60. El segmento AL gira alrededor de un eje vertical que pasa por el centro de dicha circunferencia, engendrando un hiperboloide elíptico. Se pide: 1º Dibujar el hiperboloide en proyecciones horizontal y vertical, tomando como generatrices las rectas que se proyectan horizontalmente como lados del octógono estrellado, definiendo geométricamente el círculo de garganta, los vértices de la hipérbola en proyección vertical y las asíntotas. Se hallarán asimismo los puntos de tangencia de las generatrices con la hipérbola y se dibujará esta. 2º Dibujar las trazas de los planos tangentes al hiperboloides en los puntos R y S de la generatriz frontal más alejada de la línea de tierra, estando S en el círculo superior que limita el hiperboloide, y a la izquierda del eje. que forman dichos planos tangentes.3º Hallar el ángulo 4º Sección del hiperboloide por el plano horizontal que pasa por R. Datos; A (-60;66;0), L (x;y;120), R (-21;y;z). Clases de APOYO TORRES-AZA Madrid WhatsApp - +34670720583 71. Hiperboloide. Acotados. Dibujar las líneas de nivel de cota entera de: , de centro O1 (5) y por su traza horizontal incidente con el punto A1 (0).a) Hiperboloide de revolución de eje vertical, limitado por su círculo de garganta b) Camino de traza CP y bordes MN y PQ, con taludes de terraplén de pendiente 2. c) Hallar la intersección del hiperboloide con el camino y taludes. d) Perfil transversal de traza N1Q1. e) Nombre y elementos notables de cada intersección. 72. Hiperboloide. Perspectiva axonométrica Isométrica. Dada la recta AB dibujar el hiperboloide de una hoja generado por ella al girar alrededor del eje de la z, limitado por los planos horizontales de cotas 0 y 10. A (1;10;0), B (5;0;10). Dibujar el círculo de garganta y las generatrices cada 1/24 de circunferencia, partiendo de AB. Tiempo: 1 hora. Clases a DOMICILIO

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