6º Jugando con Números tema 2

Tema 2

6º Jugando con Números

ÍNDICE

1 Divisibilidad

2 Criterios de divisibilidad

3 Descomposición

4 Mínimo común múltiplo (mcm)

5 Máximo común divisor (mcd)

Divisibilidad

Divisores => Todos los números que dividen a ese de forma exacta (resto =0) Usamos los divisores cuando:

• • Para saber de cuántas formas distintas puedes repartir cualquier cosa.
• • Si necesitas cortar un material para construir algo y quieres aprovecharlo al máximo sin que te sobre nada. ¿De cuántas formas puedes cortarlo?
• • Si tienes dos cantidades de algo y quieres saber cuál es el máximo de cada una que puedes coger para repartir, sin que sobre nada.

Múltiplos => Todos los números que son resultado de multiplicar por un número Usamos los múltiplos cuando:

• • Al comprar uno, dos, tres… objetos, su precio lo vas multiplicando por la cantidad de objetos que compras, sin que sobre nada.
• • Para envasar cantidades exactas en cajas. Sabiendo la capacidad de la caja, puedes determinar las cantidades que puedes envasar.
• • Para saber cuándo coinciden dos sucesos. Por ejemplo: Tú vas al gimnasio cada dos días, y una amiga tuya, cada tres. ¿Qué días coincidiréis?

MÚLTIPLOS

MÚLTIPLOS

MÚLTIPLOS

Tengo una garrafa de 18 litros de agua para pasarlos a otros recipientes ¿a qué recipientes podré pasarlos? De la misma cantidad y que no sobre nada.

Ejemplo

Pincha aquí e irás a ejemplos de divisores y múltiplos

Divisores comunes Pincha aquí

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 4 Cuando sus dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4, tienen el 4 como divisor. Por ejemplo: 2 600, 232. Criterio de divisibilidad por 8 Cuando sus tres últimas cifras son 000 o las tres últimas cifras son múltiplo de 8, tienen el 8 como divisor. En 8 056 las tres últimas cifras son 056. Como 56 es múltiplo de 8, 8 056 es divisible entre 8. Por ejemplo: 26 000, 12 016.

Criterio de divisibilidad por 9 Todos los números en los que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9, tienen el 9 como divisor. Por ejemplo: 1 836 es divisible entre 9. 1 + 8 + 3 + 6 = 18. Como 18 es múltiplo de 9, 1 836 es divisible entre 9. Por ejemplo: 846, 7 011. Criterio de divisibilidad por 25 Si sus dos últimas cifras son 00, 25, 50 o 75, tienen el 25 como divisor. Por ejemplo: 4 000, 4 100, 325, 6 050, 1 375.

*Descomposición factorial descomposición factorial de 30: 1 – Escribimos el número a factorizar y se traza una línea a la derecha.

2 – Teniendo en cuenta las Reglas de Divisibilidad, buscamos el primer número primo por el que sea divisible nuestro número, el 30. Vamos probando con los primeros números primos (2, 3, 5, 7, …). Cuando lo encontremos, que en este caso es el 2, apuntamos dicho número primo a la derecha de la línea y el resultado de la división debajo del 30.

3 – Volvemos a repetir el paso anterior con el resultado obtenido anteriormente, es decir, con 15.

4 – Debemos dividir tantas veces como se posible por el mismo número primo y una vez llegado a este punto, se busca el siguiente número primo para dividir, y así sucesivamente, hasta que el número que quede a la derecha sea un número primo y el resultado de la división sea 1, lo que indica que se ha terminado la descomposición.

5 – Expresamos el número como producto de factores primos. Estos factores primos son los números primos que tenemos a la derecha de la línea y su exponente será igual a las veces que se repite. 30 = 2 · 3 · 5

Veamos ahora otros ejemplos de mayor dificultad, con los números 1225 y 540

*Mínimo común múltiplo es el múltiplo común más pequeño ¿Cuál es el primer múltiplo en coincidir que sea distinto del 1 de los tres siguientes números 2,3 y 6? El primer número que coinciden los tres es el 6, así que, el mcm (2,3,6) = 6 El resto de coincidencias no nos sirven.

Vamos a trabajar el mcm (12, 30) con la descomposición 1. Recordar que intentaremos dividir por el primo más pequeño para no perdernos, si se repiten varias veces el mismo primo pondremos el número y lo elevaremos a tanta potencia como veces aparece (2 · 2 · 2 = ) 2. Para saber cuál es el resultado escribiremos multiplicando todos los números que salen y de los que se repiten el que tenga mayor exponente. mcm (12, 30) = 22 · 3 · 5 = 60

Intenta hacer algún ejercicio y luego toca aquí para acceder a una calculadora de mcm

*Máximo común divisor es el mayor divisor común. Si lo hacemos por descomposición factorial, el comienzo será igual mcd (12, 30) 1. Recordar que intentaremos dividir por el primo más pequeño para no perdernos, si se repiten varias veces el mismo primo pondremos el número y lo elevaremos a tanta potencia como veces aparece (2 · 2 · 2 = 23) 2. Esta vez, en lugar de escribir todos los números que salen y poner los que se repiten al mayor exponente que aparece, solo, pondremos los que se repiten se cogen los de menor exponente (ojo se tiene que repetir en todos los elementos a factorizar). mcd (12, 30) = 2 · 3 = 6

*Máximo común divisor es el mayor divisor común. Si lo hacemos por descomposición factorial, el comienzo será igual mcd (12, 30) 1. Recordar que intentaremos dividir por el primo más pequeño para no perdernos, si se repiten varias veces el mismo primo pondremos el número y lo elevaremos a tanta potencia como veces aparece (2 · 2 · 2 = 23) 2. Esta vez, en lugar de escribir todos los números que salen y poner los que se repiten al mayor exponente que aparece, solo, pondremos los que se repiten se cogen los de menor exponente (ojo se tiene que repetir en todos los elementos a factorizar). mcd (12, 30) = 2 · 3 = 6

Intenta hacer algún ejercicio y luego toca aquí para acceder a una calculadora de mcd

Esta es otra calculadora del mcd por si quieres probar otra.

¡GRACIAS!