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Ejercicios de DIEDRICO

Dibujo Técnico/Geometría DescriptivaDos click en cada lápiz

Clases particulares a domicilio en Madrid Spain Prof.- Antonio AZAWhatsApp.- +34670720583

del 20 al 3920. Diédrico. Los puntos A(5,5,0) y B(2,3,0) determinan un lado de un hexágono regular ABCDEF. Se supone que el hexágono gira en torno a AB hasta que el vértice D, opuesto al A, se apoya sobre el vertical superior. Se pide: 1º) Representar el hexágono. 2º) Representar el prisma recto de base inferior el hexágono y de 10 cm de altura. 3º) Sección del prisma por un plano que es paralelo a AB, su traza vertical forma con la línea de tierra un ángulo de 45º y pasa por el punto M. M es el punto del eje del prisma que dista de la base inferior 1/3 de la altura. Clases deAPOYO TORRES-AZA prof.- Antonio AZA WhastApp.- +3467072058321. Diédrico. P(‑4,5,6) r(AB), A(‑2,1,0), B(4,7,6).22. Diédrico. En el modelo adjunto se dan los ejes de una elipse que es proyección vertical de una circunferencia, así como la línea de tierra, y se sabe que la traza vertical del plano que contiene a la elipse pasa por el extremo izquierdo del eje menor. Se pide: 1º. Dibujar las elipses en proyección horizontal y vertical. 2º. Abatimiento de la circunferencia. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas23. Diédrico. En el modelo adjunto se da un paralelogramo A1,B1,C1,D1, que es la proyección horizontal de un cuadrado, así como la línea de tierra. Se pide: 1º. Dirección de la horizontal del plano que contiene al cuadrado, línea de máxima pendiente de dicho plano y abatimiento del cuadrado. 2º. Con los datos obtenidos en 1º y sabiendo que el cuadrado está situado en un plano cuya traza horizontal pasa por C1, y que todo el cuadrado está en el primer diedro, dibujar las proyecciones del cubo que tiene como base dicho cuadrado (solución comprendida en el primer diedro). Nota. Los puntos 1º y 2º se presentarán en papeles aparte. con el 2° bisector. El punto A (1;2;3) es un punto de dicho plano, así como los puntos B y C, de los cuales sabemos que sus proyecciones horizontales son B1(3;7;0) y C1(6;3;0). Se pide:24. Diédrico. 1°. Hallar las proyecciones verticales de los puntos B y C 2°. Trazas del plano a 3°. Hallar la verdadera magnitud del triángulo ABC. 4°. Trazar la perpendicular a ABC desde su circuncentro y hallar la traza horizontal de la misma, H. 5°. Dibujar la pirámide de base ABC y vértice H.25.Diédrico. Las rectas r y s contienen a los lados AB y AC de un triángulo equilátero de lado 6 cm. Se pide: a) Dibujar las proyecciones del triángulo conociendo: 1º Las proyecciones horizontales r1 y s1. r1: A1 (-1; 4), L1 (-6; 10) s1: M1 (3; 8), A1 (-1; 4). 2º Se sabe que las rectas r y s cortan a la línea de tierra. 3º El vértice A del triángulo es el de menor cota. b) Dibujar las proyecciones de la pirámide regular que tiene por base el triángulo ABC y la altura es de 5 cm.26. Diédrico. Hallar la distancia entre el punto P y el plano a Hallar las trazas de un plano b, a la izquierda de a Hallar la mínima distancia entre las rectas r y s, aplicando cambios de plano.27. Diédrico. Se da el punto A(0,6,5) y de otro punto B se sabe que dista del A 5cm y de los planos de proyección, 4cm, estando a la derecha de A. El segmento AB es el lado de un hexágono regular situado en el plano definido por A,B y el punto que es la otra solución al problema anterior, estando todo él en el primer diedro. Dicho hexágono es la base de una pirámide regular de 5 cm de altura, estando situado su vértice por encima de A. Se pide representar las proyecciones de dicha pirámide con líneas vistas y ocultas. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas28. Diédrico. ( El punto 0(2,5,5) es el centro de un pentágono regular situado en un plano proyectante vertical, que corta a la línea de tierra en el punto (‑3,0,0). El pentágono tiene un lado horizontal y de la menor cota posible, y sabemos que está inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Se pide: 1°. Dibujar las proyecciones del pentágono. 2°. Dibujar las proyecciones de la pirámide regular que tiene por base el pentágono y su altura es de 8 cm. 3°. Sección por un plano perpendicular al primer bisector, que pasa por el punto P, que está situado sobre la altura de la pirámide siendo la distancia OP de 3 cm, y sabemos que su traza horizontal forma 60° con la línea de tierra. (Realizar este apartado mediante cambios de plano.)29. Diédrico*. En la hoja que acompaña a este enunciado se han definido dichas pirámides a escala 1: 100. La primera tiene de base el cuadrado ABCD y su vértice es el punto W. La segunda tiene de base el cuadrado MNPQ (puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente) y su vértice es el punto V. Se pide: 1° Planta y alzado (proyecciones diédricas) de la cúpula, dejando constancia de las aristas vistas y ocultas. 2°. Suponiendo que en tiempos de Felipe II el m2 de pizarra costaba 10 escudos, calcular el precio de la cúpula.30. Diédrico. A. Dado el punto A(‑5,5,4) y el plano a(‑4,4,5), hallar la distancia del punto A al plano a B. Dada la recta r, definida por los puntos A(‑4,5,0) B(5,0,4), girarla alrededor de la recta vertical e que pasa por el punto (0,1,0), hasta conseguir que la verdadera magnitud del segmento entre trazas mida 8 cm. Se dibujarán todas las soluciones posibles.31. Diédrico. A) Por una cara de la hoja: Papel A4 vertical. Origen centrado. Coordenadas en cm. Dadas las rectas r, A(‑5,9,2), B(0,3,8) y s C(6,5.4) y B, se pide hallar: 1°. Angulo de las dos rectas. 2°. Proyecciones de la recta w, bisectriz del ángulo de las rectas. 3°. Angulos que forma la recta w con los de proyección. B). Por el dorso de la hoja. Coordenadas en mm. Dado el tetraedro ABCD determinar el ángulo diedro de la arista AB. A(‑51,75,50), B(12,18,102), C(39,90,36), D(‑21,26,18).32. Diédrico. Girar la recta r alrededor de un eje paralelo a la recta s hasta situarla en el plano a33. Diédrico. Una recta r que pasa por el punto M(‑7,0,0), forma ángulos de 30° y 25° con los planos horizontal y vertical, respectivamente. El punto K, situado sobre la recta r, pertenece al primer diedro y está sobre el plano de perfil que pasa por (0,0,0), y el punto V es el simétrico de M respecto a K. Se pide: 1°. Representar la pirámide regular V.ABCD, de altura VK, y cuya base es un cuadrado ABCD de 6 cm de lado y con dos de éstos horizontales. 2°. Sección de la pirámide por el plano de canto que pasa por VK.34. Diédrico. Dado el triángulo A(5,5,5), B(0,2,9), C(‑4,10,3), se pide hallar: 1°. El ángulo ABC. 2°. Las proyecciones de la mediana BD y su verdadera magnitud. 3°. El ángulo que forma con el plano horizontal el plano que contiene al triángulo ABC.Clases de APOYO TORRES-AZAwww.torresaza.com35. Diédrico. A causa de un fuerte temporal y grandes lluvias, dicho muro se rompe, quedando, a merced de sus armaduras, desplomado hasta formar 60° con el plano horizontal. Para evitar mayores accidentes y hasta que se proceda a la demolición del muro, se proyecta con urgencia anclarlo, mediante dos tirantes, a otro muro cercano y firme cuyo paramento supondremos que es el vertical de proyección. Se pide: 1°. Proyección vertical del muro desplomado. 2°. Determinar los puntos exactos de amarre en el plano firme, conociendo los puntos A y B de amarre en el muro desplomado y sabiendo que los tirantes son perpendiculares a éste. 3°. Trazas del paramento que pasa por MN. 4°. Medida exacta de los dos tirantes.36. Diédrico. Para descargar a los muros de la presión ejercida por el agua que filtra y empuja sobre su paramento interior... se ejecutan unos "mechinales" (agujeros) a distintas alturas. En la hoja que acompaña a este enunciado se ha representado, a escala 1: 25, la planta y la sección recta de un tramo de muro en cuyo paramento vertical se han representado los puntos A, B, C y D que son los de "ataque" (entrada) de los ejes de cuatro "mechinales" que se van a perforar. Por necesidades de la obra, se quiere saber de antemano los puntos de salida en el paramento exterior... Por lo tanto, se pide: 1º Determinar las trazas del paramento exterior (o inclinado). 2º Determinar en planta y alzado los ejes de los "mechinales" y en cada uno de ellos el punto de vista.37. Diédrico. Una cubierta laminar de espesor despreciable está construida a partir de un cuadrado ABCD de 28 m de lado. M,N,P y Q son los puntos medios de sus lados. Dicho cuadrado se pliega por sus diagonales AC y BD formando limahoyas y por sus paralelas medias MP y QN formando limatesas, de manera que el centro quede como punto más alto. Se pide: Planta y alzado de la cubierta a escala 1:200, obligando a que los puntos de apoyo A,B,C y D se sitúen en las siguientes coordenadas: A(‑3,4,0), B(9,10,0), C(3,22,0) y D(‑9,16,0).38. Diédrico. Angulos. Dado el plano a (-5; 6; 6) y la recta r: A (-6; 7; 4), B (3; 5, 6), definir los planos que pasando por la recta r forman 60º con el plano a39.Diédrico. Angulos. Dada la recta r: M (0; 7; 6), N (-5,5; 0; 4,5) y el plano a (3,5; 3,5; 3) trazar rectas situadas en el plano a, que pasen por el punto de intersección A, de r y a Comprobar que el ángulo que forma r con una de las rectas halladas es de 70º.

Gaspard MONGE.- Padre del DIEDRICO Y DE LA Geometría Descriptiva.

CAPITULO 1. Sistema Diédrico: definición. Diedro de Monge. Planos bisectores. Abatimiento de los planos de proyección. Plano de perfil. Representación del punto. Posiciones del punto. Representación de la recta. Trazas de la recta. Posiciones de la recta. Intersección de la recta con los planos bisectores. Rectas que se cortan, rectas paralelas y rectas que se cruzan. Representación del plano. Trazas del plano. Posiciones del plano. Determinación de las trazas. Plano definido por tres puntos y por un punto y una recta. Rectas y puntos contenidos en el plano. Plano que pasa por una recta. CAPITULO 2. Intersecciones. Intersección de dos planos. Diversos casos de intersección de planos. Intersección de tres planos. Intersección de recta y plano. Casos particulares. Teoría de sombras. CAPITULO 3. Paralelismo. Rectas y planos paralelos. Recta paralela a un plano. Problemas sobre paralelismo. Recta que pasa por un punto y se apoya en otras dos. Recta paralela a una dirección que se apoya en otras dos. Recta que pasa por un punto, paralela a un plano y que se apoya en otra recta. Perpendicularidad. Recta perpendicular a un plano. Plano perpendicular a una recta. Rectas perpendiculares. Planos perpendiculares. Problemas sobre perpendicularidad. Verdaderas magnitudes. Distancias. Distancia entre dos puntos. Medida de distancias sobre una recta. Distancia de un punto a un plano. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas. Distancia entre dos planos paralelos. Distancia entre dos rectas que se cruzan. CAPITULO 4. Abatimientos. Abatimiento de un plano. Casos particulares. Abatimiento de planos alrededor de horizontales y frontales. Abatimiento de un punto, una recta y una figura contenidos en el plano. Homología afín entre la proyección de una figure plana y la figura abatida. Homología afín entre las proyecciones horizontal y vertical de una figura plana. Proyecciones de la circunferencia. Problemas sobre abatimientos y verdaderas magnitudes. Verdadera magnitud de un cuadrado a partir de una de sus proyecciones. CAPITULO 5. Cambios de plano. Nuevas proyecciones del punto, la recta y el plano. Transformación de una recta cualquiera en horizontal, frontal, vertical, de punta y paralela a la línea de tierra. Transformación de un plano cualquiera en horizontal, frontal, de canto y vertical. Aplicación a los problemas de distancias. CAPITULO 6. Giros. Eje de giro. Giro de puntos, rectas y planos. Transformación de una recta cualquiera en vertical o de punta. Transformación de un plano cualquiera en un plano de canto o vertical. Aplicación a los problemas de distancias. Giros alrededor de una recta cualquiera. CAPITULO 7. Ángulos. Angulo de dos rectas. Bisectriz. Angulo de recta y plano. Angulo de una recta con los planos de proyección. Recta que forma ángulos dados con los planos de proyección. Angulo de dos planos. Plano bisector. Ángulos de un plano con los planos de proyección. Plano que forma ángulos dados con los de proyección. Plano que pasa por una recta y forma un ángulo dado con otro plano. CAPITULO 8. Poliedros. Definición, clasificación y propiedades. Poliedros regulares convexos. Tetraedro. Relaciones métricas entre sus elementos. Secciones principales. Representación en posiciones básicas. Id. en cualquier posición. Secciones planas. Hexaedro o cubo. Ídem. Secciones planas más características.. Construcción a partir de las direcciones de las proyecciones de as tres aristas. Id. a partir de la medida de las proyecciones de las tres aristas. Octaedro. Sección principal. Secciones planas más características. Posiciones del octaedro.

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Clases de apoyo TORRES-AZA

Bellas Artes / Diseño / Arquitectura / Ingenierías Oposiciones / Conservación / Otras...

Clases de apoyo TORRES-AZA / Prof- Antonio AZA WhatsApp +34670720583Del 1 al 19:1. DiédricoMitad superior: Origen y línea de tierra centrados. Un plano a está definido por el punto A(‑1,1,2) y la recta BC, B(0,4,0) y C(1,5;0;5). Hallar: 1°. Las trazas del plano. 2°. Proyecciones de la línea de máxima pendiente que pasa por A. 3°. Proyecciones de línea de máxima inclinación que pasa por A. 4º. Trazas de las rectas anteriores. Mitad inferior: Origen y línea de tierra centrados. Dada la recta AB, A(‑3,4,‑1) B(2,1,4), hallar: 1° Las trazas de la recta. 2° Trazas del plano que contiene a AB y es paralelo a la línea de tierra. 3° Horizontal del plano hallado que tenga de cota 3. 4° Frontal del plano hallado que tenga de alejamiento 3. 2. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel A4 vertical. Origen centrado en el recuadro. Cotas en mm. Un pentágono con un vértice A(0,0,0) tiene como proyección horizontal un pentágono regular de 40 mm de lado, con la altura que pasa por A, perpendicular a la línea de tierra y situado en el horizontal anterior. Conociendo las cotas de los dos vértices contiguos al A, cota de B, 36 y cota de E, 11, (B a la derecha de A), Se pide: 1°. Completar la proyección vertical del pentágono. 2°. Trazas del plano a que lo contiene. 3°. Comprobación de que el punto B pertenece al plano a. 3.Diédrico. (Práctica 95-96). Papel A4 vertical. Origen centrado. Escala 1:100. El mástil de un pararrayos mide 8 m de altura, está apoyado en el suelo de una terraza en el punto S(0,7,0) y sujeto por tres "vientos" o tirantes repartidos a 120°. Sabiendo que los puntos de sujección están a 2, 4 y 6 m de altura y que sus tirantes forman 45° con el suelo, se pide: Determinar sobre el suelo de la terraza el triángulo de los puntos de anclaje y dibujar en planta y alzado el conjunto del pararrayos con sus vientos. Nota: El tirante más largo se situará frontal y a la izquierda. 4. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 apaisado, dividido en dos mitades: izquierda y derecha. Coordenadas en cm. Mitad izquierda: (origen y línea de tierra, centrados). Se dan los puntos A(0,4,4), B(0,‑3,‑1), C(0,‑2,5) y D(0,3,‑2). Se considera el punto M de intersección de las rectas AB y CD. Se pide: Determinar un punto Q, sobre el plano horizontal anterior y otro punto P, sobre el vértice superior, situado en el mismo plano que los anteriores y tales que sus distancias a M sean de 5 cm. Mitad derecha (Origen y línea de tierra, centrados). Por los puntos M(1,2,3) y N(‑1,2,2) se trazan sendas rectas r y s, de perfil, que forman con el plano horizontal anterior ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Trazar por M una recta horizontal h que se apoye en la recta s, y por N una recta frontal f que se apoye en r. Determinar las trazas de las cuatro rectas. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 5. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 vertical. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. La recta r está definida por los puntos (0,2,4) y (3,6,7) y la recta s por los puntos (0,4,4) y (3,0,1). Se considera una recta que se apoya sucesivamente en ellas, moviéndose paralelamente al plano horizontal,. Determinar la curva que se obtiene en el plano vertical como intersección con él de la recta horizontal móvil en las sucesivas posiciones que ocupa. 6. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 vertical. Origen y línea de tierra centrados. En el plano horizontal anterior se dibuja un hexágono regular de 4 cm de lado, con dos de ellos paralelos a la línea de tierra, y cuyo centro es el punto (0,5,0). El punto V(4,‑4,7) se une con cada vértice del hexágono y se pide determinar las intersecciones de estas rectas con el plano vertical y dibujar el polígono que definen. 7. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel A4 vertical. Origen centrado. Cotas en cm. Se dan los siguientes planos: a, paralelo a LT y pasando por la recta AB, A(0,3,0), B(0,0,5). b, definido por LT y el punto C(0,4,3). p, (‑5,5,4). Se pide hallar: 1°. Trazas de los planos a y b. 2°. Recta intersección de a y b (i). 3°. Recta intersección de a y p. (s). 4°. Recta intersección de b y p. (t). 5°. Punto común a a, b y p. (O). 6°. Partes vistas y ocultas de t con respecto a a. 7º. Partes vistas y ocultas de s con respecto a b. 8°. Partes vistas y ocultas de i con respecto a p. 8. Diédrico. Hallar la intersección del triángulo ABC, A(‑38, 11,32), B(‑18,62, 14), C(48, 10,45) con el plano a 9. Diédrico. Por necesidades escénicas, la tarima a1a2 En AB y CD (sobre la tarima) se colocan sendos paneles de 5 m de ancho rematados respectivamente a las cotas 8 y 10,50 m desde la cota 0 o plano horizontal. Dichos paneles van sujetos por puntales de madera que, partiendo de los puntos medios M y N de sus "cabeceros" forman 60° con el plano horizontal en la dirección que se indica en la planta. Se pide: 1°. Alzado completo de los paneles. 2°. Determinar sobre la tarima los pies de los dos paneles. 3°. Verdadera magnitud de paneles y puntales. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas. 10. Diédrico. Una pirámide tiene por vértice el punto V(5,8,6) y su base es un cuadrado ABCD situado en el horizontal anterior. El punto A(‑5,6,0) es un vértice de la base y se sabe que la arista VB pasa por el punto M(‑1,2,1). Se pide: 1°. Representar la pirámide. 2°. Sección por el plano que pasa por los puntos (8,0,0), (0,10,0) y (0,0,4). 11. Diédrico. Los puntos A(‑7,7,0) y B(‑5,4,0) son vértices consecutivos de un pentágono regular ABCDE, situado en el plano horizontal. El centro del polígono, a la derecha del vértice A. El pentágono es la base de un prisma oblicuo, cuya arista AM está definida por los puntos A y M(‑1,1,8). Se pide: 1°. Representar el prisma limitado en los planos de proyección. 2°. Sección del prisma obtenido por el plano bisector del primer diedro. 12. Diédrico. Las rectas r, A(‑2,5;0;6) B(3;10,5;0) y s, C(‑3;7;9,5),D(7;2;3,5) son los ejes de dos tuberías que se quieren unir con el punto P(5;5;8) por medio de otra tubería que corte a las dos. Dibujar las proyecciones del segmento ML de unión entre r y s. 13. Diédrico. Dados los puntos A(‑6,8,6), B(0,3,2) y C(5,6,7), se pide: 1º. Trazar por B el plano a 2º. Trazar por B el plano b 3º . Trazar por B la recta r perpendicular al plano ABC e indicar qué relación tiene dicha recta con a y b 4º. Sombra de la quebrada MBN, siendo M el punto medio de AB y N, el punto medio de BC, sobre el horizontal y los planos a y b, con luz focal, F(0,7,8), considerando opacos los planos a y b 14. Diédrico. Se dan los triángulos ABC y MNP recortados en chapa de espesor despreciable. A(‑8,0,0), B(3,0,8), C(5,10,3), M(‑6,10,0), N(‑3,0,9), P(7,3,0). Se pide: dibujar su intersección dejando constancia de las partes vistas y ocultas. 15. Diédrico. El punto C(‑3,4,4) es centro de un hexágono regular de 4 cm de lado, colocado paralelamente al plano vertical de proyección y con uno de sus vértices apoyado en el plano horizontal. Suponiendo el hexágono opaco y de espesor despreciable, se pide: Sombra del hexágono sobre los planos de proyección, con luz paralela, sabiendo que el punto C proyecta la suya sobre el punto S(3,0,1). 16. Diédrico. Hallar un punto V en el plano a a Dibujar la pirámide VABC con partes vistas y ocultas. Hallar la distancia común de V a los tres puntos. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 17. Diédrico. Dada la recta r, definida por los puntos M(‑3,9,0) N(4,0,0) y los puntos A(‑4,6,6) y P(3,5,0), hallar un punto B situado en la recta r, que cumpla con la condición de que la longitud AB + BP sea mínima. Dibujar las proyecciones del cuadrado cuya diagonal es AB y está situado en el plano definido por r y AB. 18. Diédrico. : K ( 0 , 7 , 6 ), L ( 4 , 0 , ‑2 ) .: M (0,0,10), N ( ‑9,4,2) y los puntos K y L definen la recta Los puntos M y N definen la recta Determinar sobre ellas los puntos I y J que definen la mínima distancia entre ambas rectas y expresar en mm la longitud IJ . Expresar, también en mm, la distancia del punto medio de IJ al origen, O. 19. Diédrico. Hallar las proyecciones y la verdadera magnitud de la circunferencia que pasa por los puntos A(10,7,36), B(0,45,7) y C(50,45,36), indicando: puntos más alto, más bajo, más a la derecha y más a la izquierda. Trazar las tangentes desde un punto P del plano, de alejamiento 70 mm, x=92.

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Con una DOCENCIA de más de 42 años. Profesor: Antonio Aza. Diédrico, Axonométrico, Caballera, Cónica, Homologías, Focos... (Puntos, Rectas, Planos, Paralelismo, Perpendicularidad,Abatimientos,Cambios de Plano,Giros,Circunferencias,Elipses,Sombras,ETC...)Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Del 20 al 3920. Diédrico. Los puntos A(5,5,0) y B(2,3,0) determinan un lado de un hexágono regular ABCDEF. Se supone que el hexágono gira en torno a AB hasta que el vértice D, opuesto al A, se apoya sobre el vertical superior. Se pide: 1º) Representar el hexágono. 2º) Representar el prisma recto de base inferior el hexágono y de 10 cm de altura. 3º) Sección del prisma por un plano que es paralelo a AB, su traza vertical forma con la línea de tierra un ángulo de 45º y pasa por el punto M. M es el punto del eje del prisma que dista de la base inferior 1/3 de la altura. Clases de APOYOTORRES-AZA prof.- Antonio AZA WhastApp.- +34670720583 21. Diédrico. P(‑4,5,6) r(AB), A(‑2,1,0), B(4,7,6). 22. Diédrico. En el modelo adjunto se dan los ejes de una elipse que es proyección vertical de una circunferencia, así como la línea de tierra, y se sabe que la traza vertical del plano que contiene a la elipse pasa por el extremo izquierdo del eje menor. Se pide: 1º. Dibujar las elipses en proyección horizontal y vertical. 2º. Abatimiento de la circunferencia. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 23. Diédrico. En el modelo adjunto se da un paralelogramo A1,B1,C1,D1, que es la proyección horizontal de un cuadrado, así como la línea de tierra. Se pide: 1º. Dirección de la horizontal del plano que contiene al cuadrado, línea de máxima pendiente de dicho plano y abatimiento del cuadrado. 2º. Con los datos obtenidos en 1º y sabiendo que el cuadrado está situado en un plano cuya traza horizontal pasa por C1, y que todo el cuadrado está en el primer diedro, dibujar las proyecciones del cubo que tiene como base dicho cuadrado (solución comprendida en el primer diedro). Nota. Los puntos 1º y 2º se presentarán en papeles aparte. con el 2° bisector. El punto A (1;2;3) es un punto de dicho plano, así como los puntos B y C, de los cuales sabemos que sus proyecciones horizontales son B1(3;7;0) y C1(6;3;0). Se pide:24. Diédrico. 1°. Hallar las proyecciones verticales de los puntos B y C 2°. Trazas del plano a 3°. Hallar la verdadera magnitud del triángulo ABC. 4°. Trazar la perpendicular a ABC desde su circuncentro y hallar la traza horizontal de la misma, H. 5°. Dibujar la pirámide de base ABC y vértice H. 25.Diédrico. Las rectas r y s contienen a los lados AB y AC de un triángulo equilátero de lado 6 cm. Se pide: a) Dibujar las proyecciones del triángulo conociendo: 1º Las proyecciones horizontales r1 y s1. r1: A1 (-1; 4), L1 (-6; 10) s1: M1 (3; 8), A1 (-1; 4). 2º Se sabe que las rectas r y s cortan a la línea de tierra. 3º El vértice A del triángulo es el de menor cota. b) Dibujar las proyecciones de la pirámide regular que tiene por base el triángulo ABC y la altura es de 5 cm. 26. Diédrico. Hallar la distancia entre el punto P y el plano a Hallar las trazas de un plano b, a la izquierda de a Hallar la mínima distancia entre las rectas r y s, aplicando cambios de plano. 27. Diédrico. Se da el punto A(0,6,5) y de otro punto B se sabe que dista del A 5cm y de los planos de proyección, 4cm, estando a la derecha de A. El segmento AB es el lado de un hexágono regular situado en el plano definido por A,B y el punto que es la otra solución al problema anterior, estando todo él en el primer diedro. Dicho hexágono es la base de una pirámide regular de 5 cm de altura, estando situado su vértice por encima de A. Se pide representar las proyecciones de dicha pirámide con líneas vistas y ocultas. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 28. Diédrico. ( El punto 0(2,5,5) es el centro de un pentágono regular situado en un plano proyectante vertical, que corta a la línea de tierra en el punto (‑3,0,0). El pentágono tiene un lado horizontal y de la menor cota posible, y sabemos que está inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Se pide: 1°. Dibujar las proyecciones del pentágono. 2°. Dibujar las proyecciones de la pirámide regular que tiene por base el pentágono y su altura es de 8 cm. 3°. Sección por un plano perpendicular al primer bisector, que pasa por el punto P, que está situado sobre la altura de la pirámide siendo la distancia OP de 3 cm, y sabemos que su traza horizontal forma 60° con la línea de tierra. (Realizar este apartado mediante cambios de plano.) 29. Diédrico*. En la hoja que acompaña a este enunciado se han definido dichas pirámides a escala 1: 100. La primera tiene de base el cuadrado ABCD y su vértice es el punto W. La segunda tiene de base el cuadrado MNPQ (puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente) y su vértice es el punto V. Se pide: 1° Planta y alzado (proyecciones diédricas) de la cúpula, dejando constancia de las aristas vistas y ocultas. 2°. Suponiendo que en tiempos de Felipe II el m2 de pizarra costaba 10 escudos, calcular el precio de la cúpula. 30. Diédrico. A. Dado el punto A(‑5,5,4) y el plano a(‑4,4,5), hallar la distancia del punto A al plano a B. Dada la recta r, definida por los puntos A(‑4,5,0) B(5,0,4), girarla alrededor de la recta vertical e que pasa por el punto (0,1,0), hasta conseguir que la verdadera magnitud del segmento entre trazas mida 8 cm. Se dibujarán todas las soluciones posibles. 31. Diédrico. A) Por una cara de la hoja: Papel A4 vertical. Origen centrado. Coordenadas en cm. Dadas las rectas r, A(‑5,9,2), B(0,3,8) y s C(6,5.4) y B, se pide hallar: 1°. Angulo de las dos rectas. 2°. Proyecciones de la recta w, bisectriz del ángulo de las rectas. 3°. Angulos que forma la recta w con los de proyección. B). Por el dorso de la hoja. Coordenadas en mm. Dado el tetraedro ABCD determinar el ángulo diedro de la arista AB. A(‑51,75,50), B(12,18,102), C(39,90,36), D(‑21,26,18). 32. Diédrico. Girar la recta r alrededor de un eje paralelo a la recta s hasta situarla en el plano a 33. Diédrico. Una recta r que pasa por el punto M(‑7,0,0), forma ángulos de 30° y 25° con los planos horizontal y vertical, respectivamente. El punto K, situado sobre la recta r, pertenece al primer diedro y está sobre el plano de perfil que pasa por (0,0,0), y el punto V es el simétrico de M respecto a K. Se pide: 1°. Representar la pirámide regular V.ABCD, de altura VK, y cuya base es un cuadrado ABCD de 6 cm de lado y con dos de éstos horizontales. 2°. Sección de la pirámide por el plano de canto que pasa por VK. 34. Diédrico. Dado el triángulo A(5,5,5), B(0,2,9), C(‑4,10,3), se pide hallar: 1°. El ángulo ABC. 2°. Las proyecciones de la mediana BD y su verdadera magnitud. 3°. El ángulo que forma con el plano horizontal el plano que contiene al triángulo ABC. Clases de APOYOTORRES-AZA 35. Diédrico. A causa de un fuerte temporal y grandes lluvias, dicho muro se rompe, quedando, a merced de sus armaduras, desplomado hasta formar 60° con el plano horizontal. Para evitar mayores accidentes y hasta que se proceda a la demolición del muro, se proyecta con urgencia anclarlo, mediante dos tirantes, a otro muro cercano y firme cuyo paramento supondremos que es el vertical de proyección. Se pide: 1°. Proyección vertical del muro desplomado. 2°. Determinar los puntos exactos de amarre en el plano firme, conociendo los puntos A y B de amarre en el muro desplomado y sabiendo que los tirantes son perpendiculares a éste. 3°. Trazas del paramento que pasa por MN. 4°. Medida exacta de los dos tirantes. 36. Diédrico. Para descargar a los muros de la presión ejercida por el agua que filtra y empuja sobre su paramento interior... se ejecutan unos "mechinales" (agujeros) a distintas alturas. En la hoja que acompaña a este enunciado se ha representado, a escala 1: 25, la planta y la sección recta de un tramo de muro en cuyo paramento vertical se han representado los puntos A, B, C y D que son los de "ataque" (entrada) de los ejes de cuatro "mechinales" que se van a perforar. Por necesidades de la obra, se quiere saber de antemano los puntos de salida en el paramento exterior... Por lo tanto, se pide: 1º Determinar las trazas del paramento exterior (o inclinado). 2º Determinar en planta y alzado los ejes de los "mechinales" y en cada uno de ellos el punto de vista. 37. Diédrico. Una cubierta laminar de espesor despreciable está construida a partir de un cuadrado ABCD de 28 m de lado. M,N,P y Q son los puntos medios de sus lados. Dicho cuadrado se pliega por sus diagonales AC y BD formando limahoyas y por sus paralelas medias MP y QN formando limatesas, de manera que el centro quede como punto más alto. Se pide: Planta y alzado de la cubierta a escala 1:200, obligando a que los puntos de apoyo A,B,C y D se sitúen en las siguientes coordenadas: A(‑3,4,0), B(9,10,0), C(3,22,0) y D(‑9,16,0). 38. Diédrico. Angulos. Dado el plano a (-5; 6; 6) y la recta r: A (-6; 7; 4), B (3; 5, 6), definir los planos que pasando por la recta r forman 60º con el plano a 39.Diédrico. Angulos. Dada la recta r: M (0; 7; 6), N (-5,5; 0; 4,5) y el plano a (3,5; 3,5; 3) trazar rectas situadas en el plano a, que pasen por el punto de intersección A, de r y a Comprobar que el ángulo que forma r con una de las rectas halladas es de 70º.

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Del 40 al 59:40.Diédrico. Angulos. Por el punto A (1; 3; 4) se traza un plano a Por el punto A se traza una recta r situada en el plano a Se pide: Trazar por la recta r un plano que forme con el plano a Tiempo: 1 hora. 41.Diédrico. Angulos. Por la recta r: A (4; 0; 4), B (-2; 6; 0) pasa un plano a Por la recta r se traza un plano b, que forma con el plano a Se pide: 1º Trazas del plano a 2º Trazas del plano b. 3º Angulo que forman entre sí los planos b. 4º Situar en el plano b Tiempo: 30 minutos. 42.Diédrico. Angulos. 1º Por el punto P (-2; 2; 3) pasa un plano a 2º Por el punto P se traza una recta r, que está contenida en el plano a 3º Por la recta r se traza un plano b que forma con el plano a 4º Se dibujarán los planos bisectores de a y b Tiempo: 45 minutos. 43.Diédrico. Angulos. Hallar el ángulo que forman entre sí los dos planos solución que conteniendo a la recta r forman con el plano a r(AB): A (-50; 60; 40), B (25; 20; 40). a Tiempo: 45 minutos. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 44.Diédrico. Tetraedro. El segmento AB, A (-4; 6; 7), B (2; 2; 4) es la arista de un tetraedro regular ABCD que tiene la arista más baja, CD, horizontal y con el vértice C de mayor alejamiento. Se pide: 1º Representar el tetraedro. 2º Sección del poliedro por el plano perpendicular a la arista CB en su punto medio. 45.Diédrico. Tetraedro. El segmento MN, M (3; 5; 3), N (5; 7; 9) es la diagonal de un cuadrado situado en un plano de canto. El cuadrado es la sección por el plano de un tetraedro regular ABCD. Representar el tetraedro tal que el vértice D sea el más a la derecha y con el menor alejamiento y la mayor cota posibles. 46.Diédrico. Tetraedro. En el plano a Dicho cuadrado es la sección que une los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular. Se pide: 1º Dibujar los dos tetraedros posibles. 2º Dibujar en hoja aparte el poliedro definido por los ocho vértices obtenidos. 47.Diédrico. Tetraedro. En la recta r, definida por los puntos M (-4; 9; 0) y N (5;0;7) está la arista AB de un tetraedro regular. El punto medio de la arista opuesta CD es el punto E (-4; 4; 5). Se pide: Dibujar las proyecciones del tetraedro y hallar la sección por el plano que pasa por E y es paralelo a las aristas BC y AD. 48.Diédrico. Tetraedro. Dibujar las proyecciones de un tetraedro regular, conociendo los siguientes datos: 1º La arista AB, A (-3; 5; 5), B (2; 3; 0). 2º La traza horizontal del plano a 3º Todo el poliedro está situado en el primer diedro. 49.Diédrico. Tetraedro. El segmento AB: A (-5; 2; 1), B (4; 7; 5) es una arista de un tetraedro regular ABCD, situado en el primer diedro cuyo vértice C está sobre el plano horizontal de proyección. 1º Representar el poliedro. 2º Sección obtenida al cortar el tetraedro por un plano que pasa por su centro y es paralelo a la cara ABC. 50.Diédrico. Tetraedro. Se da el tetraedro VABC y se pide hallar las proyecciones de la esfera circunscrita al mismo. V (18; 61; 70), A (-20; 66; 0), B (43; 91; 0), C (53; 21; 0). 51.Diédrico. Tetraedro. De un tetraedro regular de arista 6 cm, sabemos que una arista , DC, está en la recta M (3; 9; 8), N (-4; 2; 0) (C a la derecha de D) y que la arista opuesta AB pasa por el punto P (3; 1; 2) (A a la izquierda de B) , se pide: 1º Dibujar las proyecciones del tetraedro, que está situado todo él en el primer diedro. 2º Sección por el plano que pasa por la línea de tierra y el punto medio de BD. Tiempo: 1 hora. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas 52.Diédrico. Tetraedro. Una recta r forma con el horizontal un ángulo de 45º y con el plano vertical un ángulo de 30º, su traza horizontal es el punto A (-4; 4; 0), y su traza vertical es el punto B, que está a la derecha de A. El segmento AB es el lado de un triángulo equilátero ABC, situado en el primer diedro, y contenido en el plano P, que forma con el horizontal un ángulo de 75º, cortando a la línea de tierra a la derecha de B. Se pide: 1º Representar el tetraedro regular ABCD, en el que el triángulo ABC es la cara inferior. 2º Sección del poliedro por el plano que pasa por el punto medio de la arista AC y es perpendicular a ella. Tiempo: 40 minutos. 53.Diédrico. Tetraedro. El punto O (1; 4,5; 4) es el centro de una esfera de diámetro 2,5 cm. Dicha esfera está inscrita en un tetraedro regular ABCD. Se sabe que la cara ABC es paralela al plano a Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del tetraedro. 2º Hallar la sección en el tetraedro por un plano que contiene a la línea de tierra y pasa por el punto O. Tiempo: 1 hora. 54.Diédrico. Tetraedro. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. El segmento A (-40; 39; 43) B (5; 74; 82) es la diagonal de un cuadrado en el que la otra diagonal forma 45º con el plano horizontal y la recta que la contiene tiene su traza horizontal con el menor alejamiento posible. Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cuadrado. 2º Construir los dos tetraedros que tienen como sección plana dicho cuadrado. 3º Intersección de ambos tetraedros. 4º Indicar qué poliedro se obtiene como sólido común. 5º Dibujar en línea fina el poliedro que se obtiene uniendo los vértices de los tetraedros hallados, indicando de qué poliedro se trata. Tiempo: 1 hora y cuarto. 55.Diédrico. Tetraedro. (Junio 94). Línea de tierra y origen centrados. Dibujar un tetraedro regular de 8 cm. de arista sabiendo: 1º La arista AB está en el plano horizontal de proyección. 2º La arista AC está en el plano vertical de proyección. 3º La cara ABC forma un ángulo de 50º con el plano horizontal de proyección. El vértice A (0; 0; 0) es el más a la izquierda del tetraedro y todo él, está situado en el primer diedro. Hallar la sección por el plano que pasa por el centro del tetraedro y es paralelo a las aristas AB y CD. Tiempo: 1 hora. 56.Diédrico. Tetraedro. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. El segmento de perpendicular común entre las rectas r y s es la distancia entre aristas opuestas de un tetraedro regular que tiene una arista en la recta r. Dibujar el tetraedro. r(PQ): P (-56; 75; 0) Q (30; 41; 102). s, paralela a la línea de tierra: y=19, z=15. Tiempo: 1 hora. 57.Diédrico. Tetraedro. Papel vertical. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. Por el punto P (-9; 0; 0) pasa un plano a que forma con el plano horizontal de proyección, un ángulo de 50º y cuyo ángulo entre trazas, situado en el primer diedro, es de 60º. Por el punto A (2; 7; z) del plano a pasa una recta r que forma un ángulo de 20º con el plano horizontal de proyección. (Se tomará de las dos soluciones posibles, aquella que tenga la traza horizontal de menor alejamiento). Sobre la recta r, está situada la arista AB de un tetraedro regular de 5 cm. de arista, siendo la cota de B menor que la de A. Se pide: 1º Dibujar las dos soluciones del tetraedro ABCD, sabiendo que la arista CD es frontal. 2º Dibujar la sección del plano por el centro del tetraedro y es paralelo a las aristas AB y CD. (se dibujará esta sección en los dos tetraedros solución). Tiempo: 60 minutos. 58.Diédrico. Cubo. (Práctica 94-95). Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. Las rectas r y s contienen los lados de un cuadrado de 5 cm. de lado. Se pide: 1º Dibujar el cuadrado ABCD, cuyos vértices B,C y D tienen mayor cota que A. 2º Dibujar el cubo que tiene el cuadrado ABCD como cara inferior. 3º Sección por el plano que pasa por el centro del cubo y es perpendicular a la diagonal del cubo que forma mayor ángulo con el horizontal. r: A ( -1,7; 3,6; z), L (4,9; 0; 0), s: A y M (-5,4; 0; 0). 59.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. El punto A (-2; 6; 0) es el vértice más bajo de un cubo de 8 cm de arista, y las tres aristas que concurren en A se proyectan sobre el plano horizontal según las rectas r, s y t definidas en el croquis. Se pide: 1º Representar el cubo. 2º Dibujar la esfera que pasa por los vértices y la esfera tangente a las aristas.

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Diseño Industrial-Alfonso X...Modas - InterioresDibujo Técnico I y II para NEBRIJA Bellas Artes, Arquitectura-Caminos- Navales-Edificación... Istituto Italiano de Diseño de Madrid Escenografía-Arte 2/4-Oposiciones profesores secundaria...

POLIEDROS del 60 al 79:60.Diédrico. Cubo. . Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. A (3; 5; 11) F (-3; 8; 0) es la diagonal de un hexaedro regular. Supuestos B, C y D los vértices más próximos al A, se sabe que C es el de mayor alejamiento y que la diagonal de cara BD es paralela al plano vertical de proyección. Se pide: 1º Representación diédrica del cubo. 2º Dibujar solamente en proyección horizontal los dos tetraedros regulares inscritos en el cubo, omitiendo las partes ocultas. 61.Diédrico. Cubo.Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. Por el punto A (35; 30;50) trazar un plano a, que forme 60º con el horizontal y 45º con el vertical, cortando a la línea de tierra a la izquierda de A. Dibujar las proyecciones de un cubo de 50 mm de arista, con una diagonal perpendicular al plano a por el punto A, estando definido el plano de la sección principal correspondiente por dicha diagonal y una recta que pase por A, contenida en a y que forma 45º con el horizontal (la solución de mayor alejamiento). El punto B, extremo de la arista AB, es el de menor cota del cubo y tiene mayor alejamiento que A. 62.Diédrico. Cubo. El segmento AB es un arista de un cubo ABCDEFGH, que tiene su cara ABCD sobre un plano perpendicular al bisector del primer diedro y situado totalmente en el primer diedro. Se pide: 1º Representar el poliedro. 2º Sección del poliedro por el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal del cubo que forma mayor ángulo con el horizontal. 3º Dibujar la esfera circunscrita al poliedro y la esfera tangente a las aristas. A(3; 0,5; 5,5) B (0; 2;1). 63.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. En un cubo ABCDEFGH, AC es la diagonal de la cara ABCD y AH diagonal del cubo. Representar el poliedro sabiendo que el vértice A (0; 3; 3) es el de menor altura y que la arista CH está situado sobre la recta r (MN): M (-8; 10; 5), N (4; 3; 12). 64.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Por el punto M (-6; 0; 8) pasa una recta r que forma 55º con el plano horizontal y 35º con el plano vertical. El punto A (-2; 3; 1) es el vértice de un cuadrado ABCD, estando situado totalmente en el primer diedro. Representar un cubo de cara el cuadrado ABCD, estando situado totalmente en el primer diedro. Volumen del poliedro en centímetros cúbicos. 65.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. En un plano que forma 60º con el horizontal, ascendiendo de izquierda a derecha, y cuya traza horizontal pasa por el punto V (-5; 0; 0) y forma 60º con la línea de tierra, hay un hexágono de 4 cm de lado, con uno de sus lados en la traza horizontal y el vértice de dicho lado más próximo a la línea de tierra, a 4 cm de V. Dicho hexágono es la sección plana de un cubo con un vértice a la mayor cota posible. Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cubo con la sección hexagonal. 2º Intersecciones del cubo con los planos de proyección. 66.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. Por la recta MB, M (0; 8; 0), B(2; 2; 5), pasa un plano a que forma un ángulo de 45º con el plano horizontal y corta a la línea de tierra a la izquierda. Por la recta MB pasa otro plano b que forma con el plano a un ángulo de 100º, y corta a la línea de tierra lo más a la derecha posible. Un cubo ABCDEFGH de 6 cm de arista, totalmente situado en el primer diedro, tiene un vértice en el punto B, y el vértice A, contiguo al B y que es el más bajo, también sobre la recta MB. La cara ABCD está situada sobre el plano b. Se pide: 1º Representar los planos a y b por sus trazas. 2º Representar el poliedro. 3º Intersección del poliedro con la recta r que pasa por el centro del poliedro y tiene su proyección vertical r2 paralela a la traza vertical del plano a y su proyección horizontal r1 paralela a la traza horizontal del plano a. 67.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. A (-3,5; 2,5; 0), B (2; 1; 0) es el lado de un hexágono regular contenido en la parte anterior del plano horizontal. Dicho hexágono es el contorno aparente de la proyección de un cubo y, a la vez, de un octaedro regular, apoyados ambos en el plano horizontal. Sabiendo que en el punto A concurren tres aristas vistas del cubo y en el B, cuatro aristas vistas del octaedro, se pide: Dibujar la "macla" o sólido conjunto formado por la intersección de los dos poliedros. 68.Diédrico. Cubo.Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. La recta AB, A (-5; 8; 5), B (0; 2; 8) es una de las diagonales de cara de un cubo. Sabiendo que el plano que contiene a AB y a las otras dos diagonales AC y BC forma 45º con el plano horizontal (traza a la derecha de AB), y que el vértice C tiene menos cota que A, se pide: 1º Construir el cubo. 2º Sección por su centro, paralela al plano ABC. 3º Verdadera magnitud de la sección. Tiempo: 1 hora. 69.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Los puntos A (-6; 1; 2) y H (2; 8; 9) son dos vértices opuestos de un hexaedro regular. Un vértice B perteneciente a una arista que parte de A está en el plano horizontal de proyección ( con el mayor alejamiento). Se pide: 1º Dibujar el hexaedro con sus partes vistas y ocultas. 2º Sección por un plano que pasa por el centro del hexaedro y es perpendicular a la diagonal del hexaedro que pasa por A. Tiempo: 1 hora. Clases de APOYO TORRES-AZA 70.-Origen centrado. Línea de tierra a 14 cm del borde inferior del papel. Coordenadas en cm.70.Diédrico. Cubo. Las proyecciones horizontales de las tres aristas concurrentes en el vértice A de un cubo contenido en el primer diedro: AB, AE y AD, miden respectivamente 7, 5 y 6 cm. Sabiendo que AB es frontal y que el vértice de la arista que forma mayor ángulo con el plano horizontal tiene el menor alejamiento posible, y que A (0; 6; 1), se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cubo. 2º Hallar la sección del cubo por un plano que es perpendicular al plano vertical y contiene a la diagonal del cubo que forma el mayor ángulo con el plano horizontal. 3º Dibujar las proyecciones de la diagonal que forma el menor ángulo con el horizontal. 4º Hallar el ángulo de las dos diagonales de los apartados anteriores. Tiempo: 1 hora. Papel vertical. Origen centrado. Coordenadas en mm.71.Diédrico. Cubo. El punto O (-23; 26; 30) es el centro de un cuadrado que tiene por proyecciones dos rombos, de tal manera que la relación entre las superficies vertical y horizontal es igual a 3/5. Además, tiene un vértice en el plano horizontal anterior. Se pide: 1º Proyecciones del cuadrado y verdadera magnitud del lado. 2º Proyecciones del cubo que tiene como una de sus caras el cuadrado descrito, encontrándose todo él por encima del plano horizontal, excepto el vértice apoyado en el mismo. 3º Intersección del cubo con el primer bisector. Tiempo: 1 hora. 72. Diédrico. Cubo. Alrededor de la recta que pasa por los puntos M (-5; 0; 0) y N (0; 4; 0) girar la circunferencia contenida en el plano horizontal, de centro O (-2; 7; 0) y radio 3 cm hasta que se apoye en el plano vertical de proyección, quedando toda ella en el primer diedro. Hallar las trazas del plano a En esta nueva posición la circunferencia está circunscrita a un hexágono regular, que es la proyección ortogonal de un cubo con una diagonal perpendicular al plano a Se pide: Hallar las proyecciones del cubo sabiendo que un vértice de una de las aristas que parten de A se proyecta ortogonalmente sobre el plano a Tiempo: 1 hora. 73.Diédrico. Octaedro. Los El vértice A, de la misma cara que X, tiene 4 cm. de cota o altura y menor alejamiento que X. Se pide: 1º) Representar el octaedro. 2º) Sección por el plano perpendicular al segmento XY en su punto medio. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas Clases de APOYOTORRES-AZA Clases a Domicilio 74.Diédrico. Octaedro. El punto G (-3; 4; 4) es el centro de un octaedro regular de 6 cm. de arista. La cara ABC, que está por debajo de G, forma con el plano horizontal un ángulo de 45º, y tiene la arista AB de frente. La arista AC horizontal y más próxima al horizontal y el vértice A a la izquierda de B y C. Se pide: 1º Representar el octaedro. 2º Sección por el plano de canto que pasa por el vértice A del poliedro y su opuesto. 3º Verdadera magnitud de la sección. 75.Diédrico. Octaedro. El segmento de perpendicular común a la línea de tierra y a la recta A (6; 12; 2) B (6; 3; 12) ,comprendida entre ellas, es diagonal de un octaedro regular que tiene dos aristas paralelas a la línea de tierra. Se pide: 1º Representar el octaedro. 2º Verdadera magnitud de la sección producida en el poliedro por un plano frontal que pase por su centro de gravedad. 76.Diédrico. Octaedro. El punto A (6; 7; 0) y el B (2; 8; 5) definen la arista de un octaedro. La arista AC está en el plano horizontal. Dibujar el octaedro y la sección por el plano definido por la línea de tierra y el centro del octaedro. (Punto C, con el menor alejamiento posible). Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.77.Diédrico. Octaedro. Los puntos M( -4; 3; 3) N (1; 4; 6) son los puntos medios de dos aristas opuestas de un octaedro regular. Un vértice A del octaedro, no perteneciente a ninguna de las dos aristas citadas, tiene 2 cm. de cota y está situado lo más cerca posible del plano vertical de proyección. Se pide: 1º Dibujar la proyección del octaedro. 2º Trazar por la diagonal del poliedro que pasa por A, un plano P que forma 60º con el plano vertical y corta a la línea de tierra lo más cerca posible del origen. 3º Sección del plano P con el octaedro. Tiempo: 1 hora. 78.Diédrico. Octaedro. Por el punto O (0; 7; 6) pasa un plano P perpendicular al plano vertical y que forma con el plano horizontal un ángulo de 60º (el punto de intersección de las trazas a la izquierda).El punto O es el centro de un hexágono regular situado en el plano P de 3 cm. de lado, siendo uno de sus lados paralelo al plano horizontal. Este hexágono regular es la sección plana de un octaedro regular. Dibujar el octaedro regular (se elegirá de las dos soluciones posibles la que tiene una diagonal del octaedro formando el mayor ángulo con el plano horizontal). Tiempo: 1 hora. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. Civil madrid Clases de APOYOTORRES-AZA Clases a Domicilio 79.Diédrico. Octaedro. El plano a En la intersección de a con el primer bisector se encuentra una diagonal de un octaedro, de 4 cm de arista, cuyo centro es el punto B (x; 5; z). Sabiendo que el octaedro tiene otros dos vértices en el plano a1º Dibujar las proyecciones del octaedro.2º Dibujar las proyecciones del poliedro conjugado circunscrito al octaedro. (Suponer que dicho poliedro es transparente). Tiempo: 1 hora y cuarto.

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UNIVERSIDADES y COLEGIOS Que tengan estas asignaturas conlos Sistemas de Representación Diédrico-Axonométrico-Caballera- Cónico Plano Sombras Propias, Arrojadas y Auto-Arrojadas.

Poliedros del 80 hasta el FINAL IMÁGENES AL SIGUIENTE80.Diédrico. Octaedro.Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm.80.Diédrico. Octaedro. Por el punto A (0; 28; 49) se traza un plano a Dicho cuadrado está contenido en un plano b que forma 90º con el plano a. Se pide dibujar las proyecciones del octaedro regular en el que el cuadrado definido anteriormente es la sección que pasa por cuatro de sus aristas. Tiempo:1 hora y media. 81.Diédrico. Octaedro. El plano a pasa por el punto P (0; 4; 2) y forma 60º con el plano horizontal y 45º con el vertical, cortando a la línea de tierra a la izquierda del origen. En la recta i de intersección del plano a con el primer bisector, se halla la diagonal de un cuadrado contenido en a El cuadrado descrito define cuatro vértices de un octaedro regular. Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del octaedro. 2º Dibujar las proyecciones del cubo cuyos centros de cara son los vértices del octaedro. Nota: Se suponen transparentes las caras del cubo. Tiempo: 1 hora y cuarto. 82.Diédrico. Octaedro. Los puntos A (3; 3; 4) B (2; 10; 4) y C (-3; 6; 4) son los puntos de intersección de las diagonales de un octaedro regular de 8 cm. de arista, con el plano horizontal de cota 4. Sabiendo que el centro del octaedro está por encima del plano horizontal de cota 4. Se pide: 1º Dibujar el octaedro. 2º Hallar la intersección del octaedro con el plano que pasa por el centro del mismo y es paralelo a la cara del octaedro más horizontal posible. Tiempo: 45 minutos. 4.Diédrico. Tetraedro. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. El segmento A (-40; 39; 43) B (5; 74; 82) es la diagonal de un cuadrado en el que la otra diagonal forma 45º con el plano horizontal y la recta que la contiene tiene su traza horizontal con el menor alejamiento posible. Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cuadrado. 2º Construir los dos tetraedros que tienen como sección plana dicho cuadrado. 3º Intersección de ambos tetraedros. 4º Indicar qué poliedro se obtiene como sólido común. 5º Dibujar en línea fina el poliedro que se obtiene uniendo los vértices de los tetraedros hallados, indicando de qué poliedro se trata. Tiempo: 1 hora y cuarto. 55.Diédrico. Tetraedro. (Junio 94). Línea de tierra y origen centrados. Dibujar un tetraedro regular de 8 cm. de arista sabiendo: 1º La arista AB está en el plano horizontal de proyección. 2º La arista AC está en el plano vertical de proyección. 3º La cara ABC forma un ángulo de 50º con el plano horizontal de proyección. El vértice A (0; 0; 0) es el más a la izquierda del tetraedro y todo él, está situado en el primer diedro. Hallar la sección por el plano que pasa por el centro del tetraedro y es paralelo a las aristas AB y CD. Tiempo: 1 hora. 56.Diédrico. Tetraedro. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. El segmento de perpendicular común entre las rectas r y s es la distancia entre aristas opuestas de un tetraedro regular que tiene una arista en la recta r. Dibujar el tetraedro. r(PQ): P (-56; 75; 0) Q (30; 41; 102). s, paralela a la línea de tierra: y=19, z=15. Tiempo: 1 hora. 57.Diédrico. Tetraedro. Papel vertical. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. Por el punto P (-9; 0; 0) pasa un plano a que forma con el plano horizontal de proyección, un ángulo de 50º y cuyo ángulo entre trazas, situado en el primer diedro, es de 60º. Por el punto A (2; 7; z) del plano a pasa una recta r que forma un ángulo de 20º con el plano horizontal de proyección. (Se tomará de las dos soluciones posibles, aquella que tenga la traza horizontal de menor alejamiento). Sobre la recta r, está situada la arista AB de un tetraedro regular de 5 cm. de arista, siendo la cota de B menor que la de A. Se pide: 1º Dibujar las dos soluciones del tetraedro ABCD, sabiendo que la arista CD es frontal. 2º Dibujar la sección del plano por el centro del tetraedro y es paralelo a las aristas AB y CD. (se dibujará esta sección en los dos tetraedros solución). Tiempo: 60 minutos. 58.Diédrico. Cubo. (Práctica 94-95). Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. Las rectas r y s contienen los lados de un cuadrado de 5 cm. de lado. Se pide: 1º Dibujar el cuadrado ABCD, cuyos vértices B,C y D tienen mayor cota que A. 2º Dibujar el cubo que tiene el cuadrado ABCD como cara inferior. 3º Sección por el plano que pasa por el centro del cubo y es perpendicular a la diagonal del cubo que forma mayor ángulo con el horizontal. r: A ( -1,7; 3,6; z), L (4,9; 0; 0), s: A y M (-5,4; 0; 0). 59.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. El punto A (-2; 6; 0) es el vértice más bajo de un cubo de 8 cm de arista, y las tres aristas que concurren en A se proyectan sobre el plano horizontal según las rectas r, s y t definidas en el croquis. Se pide: 1º Representar el cubo. 2º Dibujar la esfera que pasa por los vértices y la esfera tangente a las aristas. 60.Diédrico. Cubo. . Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. A (3; 5; 11) F (-3; 8; 0) es la diagonal de un hexaedro regular. Supuestos B, C y D los vértices más próximos al A, se sabe que C es el de mayor alejamiento y que la diagonal de cara BD es paralela al plano vertical de proyección. Se pide: 1º Representación diédrica del cubo. 2º Dibujar solamente en proyección horizontal los dos tetraedros regulares inscritos en el cubo, omitiendo las partes ocultas. 61.Diédrico. Cubo.Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en mm. Por el punto A (35; 30;50) trazar un plano a, que forme 60º con el horizontal y 45º con el vertical, cortando a la línea de tierra a la izquierda de A. Dibujar las proyecciones de un cubo de 50 mm de arista, con una diagonal perpendicular al plano a por el punto A, estando definido el plano de la sección principal correspondiente por dicha diagonal y una recta que pase por A, contenida en a y que forma 45º con el horizontal (la solución de mayor alejamiento). El punto B, extremo de la arista AB, es el de menor cota del cubo y tiene mayor alejamiento que A. 62.Diédrico. Cubo. El segmento AB es un arista de un cubo ABCDEFGH, que tiene su cara ABCD sobre un plano perpendicular al bisector del primer diedro y situado totalmente en el primer diedro. Se pide: 1º Representar el poliedro. 2º Sección del poliedro por el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal del cubo que forma mayor ángulo con el horizontal. 3º Dibujar la esfera circunscrita al poliedro y la esfera tangente a las aristas. A(3; 0,5; 5,5) B (0; 2;1). 63.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. En un cubo ABCDEFGH, AC es la diagonal de la cara ABCD y AH diagonal del cubo. Representar el poliedro sabiendo que el vértice A (0; 3; 3) es el de menor altura y que la arista CH está situado sobre la recta r (MN): M (-8; 10; 5), N (4; 3; 12). 64.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Por el punto M (-6; 0; 8) pasa una recta r que forma 55º con el plano horizontal y 35º con el plano vertical. El punto A (-2; 3; 1) es el vértice de un cuadrado ABCD, estando situado totalmente en el primer diedro. Representar un cubo de cara el cuadrado ABCD, estando situado totalmente en el primer diedro. Volumen del poliedro en centímetros cúbicos. 65.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. En un plano que forma 60º con el horizontal, ascendiendo de izquierda a derecha, y cuya traza horizontal pasa por el punto V (-5; 0; 0) y forma 60º con la línea de tierra, hay un hexágono de 4 cm de lado, con uno de sus lados en la traza horizontal y el vértice de dicho lado más próximo a la línea de tierra, a 4 cm de V. Dicho hexágono es la sección plana de un cubo con un vértice a la mayor cota posible. Se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cubo con la sección hexagonal. 2º Intersecciones del cubo con los planos de proyección. 66.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm. Por la recta MB, M (0; 8; 0), B(2; 2; 5), pasa un plano a que forma un ángulo de 45º con el plano horizontal y corta a la línea de tierra a la izquierda. Por la recta MB pasa otro plano b que forma con el plano a un ángulo de 100º, y corta a la línea de tierra lo más a la derecha posible. Un cubo ABCDEFGH de 6 cm de arista, totalmente situado en el primer diedro, tiene un vértice en el punto B, y el vértice A, contiguo al B y que es el más bajo, también sobre la recta MB. La cara ABCD está situada sobre el plano b. Se pide: 1º Representar los planos a y b por sus trazas. 2º Representar el poliedro. 3º Intersección del poliedro con la recta r que pasa por el centro del poliedro y tiene su proyección vertical r2 paralela a la traza vertical del plano a y su proyección horizontal r1 paralela a la traza horizontal del plano a. 67.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. A (-3,5; 2,5; 0), B (2; 1; 0) es el lado de un hexágono regular contenido en la parte anterior del plano horizontal. Dicho hexágono es el contorno aparente de la proyección de un cubo y, a la vez, de un octaedro regular, apoyados ambos en el plano horizontal. Sabiendo que en el punto A concurren tres aristas vistas del cubo y en el B, cuatro aristas vistas del octaedro, se pide: Dibujar la "macla" o sólido conjunto formado por la intersección de los dos poliedros. 68.Diédrico. Cubo.Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm. La recta AB, A (-5; 8; 5), B (0; 2; 8) es una de las diagonales de cara de un cubo. Sabiendo que el plano que contiene a AB y a las otras dos diagonales AC y BC forma 45º con el plano horizontal (traza a la derecha de AB), y que el vértice C tiene menos cota que A, se pide: 1º Construir el cubo. 2º Sección por su centro, paralela al plano ABC. 3º Verdadera magnitud de la sección. Tiempo: 1 hora. 69.Diédrico. Cubo. Línea de tierra y origen centrados. Los puntos A (-6; 1; 2) y H (2; 8; 9) son dos vértices opuestos de un hexaedro regular. Un vértice B perteneciente a una arista que parte de A está en el plano horizontal de proyección ( con el mayor alejamiento). Se pide: 1º Dibujar el hexaedro con sus partes vistas y ocultas. 2º Sección por un plano que pasa por el centro del hexaedro y es perpendicular a la diagonal del hexaedro que pasa por A. Tiempo: 1 hora. Clases de APOYO TORRES-AZA Madrid ​ ​ Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Cotas en cm.83.Diédrico. Octaedro. Las proyecciones horizontales de dos rectas r y s, que cortan a la línea de tierra , vienen definidas por: r1 : L (-6; 0; 0) M (4; 9; 0) s1: N (7; 0; 0) P (-5; 6; 0). Sabiendo que dichas rectas contienen a las diagonales de un cuadrado ABCD y que su intersección es el centro de dicho cuadrado, se pide: 1º Dibujar las proyecciones del cuadrado, sabiendo que la longitud de la diagonal es 10 cm. 2º Dibujar las proyecciones de un octaedro regular de modo que cuatro de sus vértices son los del cuadrado, ABCD. 3º Hallar la sección del octaedro por un plano que pasa por la línea de tierra y forma 30º con el plano horizontal. Tiempo: 1 hora y cuarto. 84.Diédrico. Octaedro. El punto O (0; 7; 6) es el centro de un octaedro regular. La proyección del vértice A sobre el plano horizontal es el punto A (6; 7; 0). Sabiendo que las otras dos proyecciones sobre el plano horizontal de las semidiagonales del octaedro tienen de magnitudes 5 y 4 y la que tiene por proyección 5 es la más alejada del plano vertical. Se pide dibujar el octaedro regular. Tiempo: 1 hora. Papel vertical. Origen y línea de tierra, centrados. Coordenadas en cm.84*.Diédrico. Octaedro. La recta (-4; 0; 0) (3; 9; 0) es la traza horizontal de un plano P, que forma 60º con el plano horizontal, ascendiendo hacia la derecha. El punto A (5; 3; z), situado en el plano P, es el vértice de un triángulo equilátero, ABC, contenido en el plano P y todo él en el primer diedro. Sabiendo que el lado AB forma 45º con el plano horizontal y que corta a la traza horizontal del plano P en un punto con el menor alejamiento posible, se pide: 1º Dibujar las proyecciones del triángulo.(lado del triángulo 7 cm). 2º Dibujar las proyecciones del octaedro que tiene por cara el triángulo ABC y está situado por encima del plano. 3º Sección por un plano paralelo al P que pasa por el centro del octaedro. Tiempo: 1 hora. 85. Diédrico. Construir un dodecaedro con una cara apoyada en el horizontal. Un lado de esta cara es el A (-22; 37; 0) B (0; 25; 0) y el vértice B es el más próximo a la línea de tierra. Hallar la sombra arrojada sobre el horizontal y el vertical con luz paralela a 45º por la izquierda. 86. Diédrico. El segmento AB, A (-7; 4; 0), B (-3; 3; 0) es la arista de un icosaedro regular con la cara ABC apoyada sobre el plano horizontal y con el vértice C con mayor alejamiento que A y B. Se pide: 1º Representar el icosaedro. 2º Sección por un plano a 87. Diédrico. a) Parte superior. Dibujar la proyección horizontal de un cubo de 10 cm de arista con una diagonal vertical. Inscribir en dicho cubo un dodecaedro. b) Parte inferior. Dibujar la proyección horizontal del mismo cubo, con una sección principal en posición horizontal. Inscribir en dicho cubo un icosaedro. Papel vertical.88. Diédrico. Una cubierta laminar de espesor despreciable está compuesta por las cuatro caras más altas de un dodecaedro apoyado sobre una arista. Las dos aristas de la cubierta que apoyan en el suelo distan 10 m y están situadas formando 45º con la línea de tierra. Se pide: Dibujar a escala 1: 100 la planta y el alzado de la cubierta. Tiempo: 45 minutos. Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas Clases de APOYOTORRES-AZA Clases a Domicilio Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.89. Diédrico. Se da un plano a que forma un ángulo de 45º con el plano horizontal de proyección. En dicho plano a Se pide: 1º Dibujar la pirámide regular de base el hexágono ABCDEF y 12 cm. de altura. 2º Sección de dicha pirámide por el plano bisector del primer diedro. Tiempo: 40 minutos. Papel vertical. Origen centrado. Coordenadas en cm.90. Diédrico. Se da el triángulo A (-3,5; 6; 0), B (6,5; 7; 6) y C (0; 13; 8). Se pide: 1º Determinar el punto M que sea equidistante de los puntos A, B y C y tenga de cota 11. 2º Determinar el punto N que sea equidistante de los puntos A, B y C y tenga de cota 2. 3º Representar el poliedro MABCN. 4º Sección por el plano MAN. Tiempo: 45 minutos. 91. Diédrico. Un recinto cuadrado de 10 x 10 se cubre por una cubierta poliédrica formada por barras de 5 metros de longitud y caras exteriores de cristal. Las barras forman cuatro pirámides cuadrangulares regulares, cuyos vértices se unen formando un cuadrado que es la cara superior de la cubierta. Se pide: 1º Representar la cubierta en planta y alzado, colocando uno de sus costados paralelo a la línea de tierra y apoyando la cubierta en el plano horizontal. 2º Considerando macizo el cuerpo limitado por la cubierta y el plano horizontal, indicar por qué poliedros regulares o partes de poliedros regulares está integrado y cuántos de cada especie. 3º Considerando la superficie de la cubierta, ¿Cuáles son las caras que la forman? 4º Volumen del conjunto macizo. 5º Superficie acristalada. 6º Número de barras. 7º Angulo diedro que forman las caras laterales del cuerpo. Tiempo: 1 hora. Papel vertical. Línea de tierra y origen, centrados. Coordenadas en cm.92. Diédrico. El "tres pies" es un artilugio barato que se improvisa con frecuencia en obra para levantar grandes pesos: planchas de hierro, motores, bancadas,etc. Se compone simplemente de tres mástiles de igual longitud que se unen entres sí por uno de sus extremos, formando una pirámide triangular, en cuyo vértice se cuelga el "polipasto" o polea de elevación. Es evidente que la altura de elevación dependerá de la separación de los "pies" del "tres pies". Supongamos tres mástiles de 10 m de longitud, con los cuales formamos un "tres pies", colocando sus puntos de apoyo en A, B y C. A (-6; 6; 2), B (3; 1; 0), C (5; 10; 2). Se pide: A escala 1:100 y sabiendo que A, B y C determinan el plano de apoyo a 1º Determinar el punto X del plano a 2º Calcular la altura máxima de elevación (desde a 3º Representar el "tres pies". Tiempo: 1 hora Un elemento que denominaremos "sombrilla" está construido por un disco de chapa de espesor no apreciable, al que se ha soldado en su centro y perpendicularmente un vástago recto...93. Diédrico. Se pide: A escala 1:10 proyecciones diédricas de la "sombrilla" apoyada en el plano horizontal como indica el croquis... de manera que estando A en la línea de tierra, queda también tangente al plano vertical. Tiempo: 1 hora. 94. Diédrico. Una escultura de gran tamaño está proyectada partiendo de una plancha de acero de forma cuadrada con un hueco circular en su centro como indica el croquis. Una vez perforada dicha plancha, que consideraremos de espesor "no apreciable", se dobla por la diagonal DB hasta formar un diedro de 60º. Se pide: A escala 1:100, proyecciones diédricas de la escultura apoyándola en el suelo sobre AB y BC. A (-1; 9; 0), B (5; 1; 0) Tiempo: 1 hora. 95. Diédrico. Si Se truncan convenientemente los cuatro vértices de un tetraedro regular, se obtiene un poliedro equiángulo denominado ARQUIMEDIANO 1 o más vulgarmente "TRONCO-TETRAEDRO". Sus caras son triángulos equiláteros y hexágonosregulares de igual arista. Si sobre cada uno de los hexágonosdel tronco-tetraedro se monta una pirámide exagonal, se obtiene un TETRÁPODOque estará formado por triángulos equiláteros y triángulos isósceles. En el supuesto de que estas caras tengan las dimensiones que se indican: Se pide: Dibujar la planta y el alzado del TETRÁPODOorientándolo de forma que apoyado en un plano horizontal de manera estable… tenga uno de sus planos de simetría formando 75º con el plano vertical de proyección. Tiempo: 1 hora y cuarto. 96. Diédrico. La cubierta de un famoso AUDITORIUM está proyectada partiendo de un semicírculo, que supondremos fabricado en chapa de espesor no apreciable, doblado por las líneas que indica el croquis, hasta formar diedros de 90º. Hecho esto, se apoya en el suelo (plano horizontal) sobre OA y OB. O (-1,5; 1; 0), B (4,5; 7; 0) . Coordenadas en metros. Se pide: A escala 1:100 dibujar las proyecciones diédricas de la cubierta con partes vistas y ocultas determinando los ejes de las elipses. Tiempo: 1 hora. 97. Diédrico. Un pentágono regular construido en chapa de espesor no apreciable A1BCA2D, se pliega por sus diagonales DB y DC hasta que A1 y A2 coincidan en el punto A. Se pide: 1º Planta y alzado de dicha estructura a escala 1:100 colocándola apoyada en el plano horizontal sobre el triángulo ABC y con su plano de simetría formando 15º con el vertical de proyección. 2º Angulo que forman los planos ABD y ADC. ​ ​ ​ Figuras que faltaban en los enunciados de los siguientes números 93. Diédrico. - 94. Diédrico.- 96. Diédrico.-97. Diédrico. entre otrasEn el siguiente LÁPIZ

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