Tema 1 Números y operaciones 6º

NÚMEROS Y OPERACIONES

TEMA 1

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

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SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

CONTENIDOS PREVIOS

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES COMBINADAS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y CÁLCULO MENTAL

***COMO SIEMPRE OS DIGO, UN TRUCO PARA SABER SI NUESTRO RESULTADO PUEDE SER ACERTADO ES HACER UNA APROXIMACIÓN/ESTIMACIÓN ANTES DE REALIZAR LA OPERACIÓN Y QUE NO OBTENGA RESULTADOS SIN SENTIDO*** TODOS TENEMOS CLARO (O DEBERÍAMOS TENERLO) CÓMO HACER CUALQUIER OPERACIÓN BÁSICA (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN), POR LO QUE OS VOY A PONER LOS ERRORES MÁS COMUNES QUE COMETEMOS AL REALIZAR CADA OPERACIÓN PARA NO REPETIRLOS EN EL FUTURO Y DAR SIEMPRE CON EL RESULTADO CORRECTO: SUMAEL ERROR MÁS COMÚN QUE COMETEMOS A LA HORA DE REALIZAR UNA SUMA ES COLOCAR MAL LOS NÚMEROS.TORCER LAS LÍNEAS, HACERLA DEPRISA... PUEDE DAR COMO RESULTADO FALLAR EN LA OPERACIÓN POR NO PONER LAS UNIDADES CON LAS UNIDADES, LAS DECENAS CON LAS DECENAS.... IGUAL PASA CON LOS DECIMALES, RECORDAD QUE AQUÍ LO QUE DEBEMOS ALINEAR ES LA COMA, Y A PARTIR DE AHÍ COLOCAR LOS NÚMEROS.RESTAAQUÍ EL FALLO MÁS COMÚN ES LA LLEVADA, MUCHAS VECES OLVIDAMOS COLOCAR CUANDO NOS LLEVAMOS ALGÚN NÚMERO (UNIDAD, DECENA, CENTENA...) Y ESO HACE QUE TENGAMOS TODA LA OPERACIÓN MAL. OTRO ERROR COMÚN: COLOCAR EL NÚMERO MENOR ARRIBA. SIEMPRE DEBEMOS COLOCAR EL NÚMERO MAYOR EN LA PARTE DE ARRIBA DE LA RESTA, SINO EL RESULTADO SERÁ INCORRECTO.MULTIPLICACIÓNFUNDAMENTAL PARA REALIZAR CON ACIERTO UNA MULTIPLICACIÓN SABERSE LAS TABLAS.TAMBIÉN COMETEMOS ERRORES CON MULTIPLICACIONES CON UN CERO EN MEDIO DEL NÚMERO.EN EL SIGUIENTE VÍDEO NOS EXPLICAN DOS FORMAS DIFERENTES DE HACERLO (LAS DOS SON CORRECTAS), LO ÚNICO QUE TENGO QUE HACER ES ESCOGER LA QUE ME RESULTE MÁS SENCILLA Y APLICARLA A LA HORA DE MULTIPLICAR.SACAMOS NUESTRA UNIDAD Y REALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN FINAL DE LAS DOS MANERAS APRENDIDAS.DIVISIÓNESTA ES LA OPERACIÓN QUE MÁS PROBLEMAS NOS DA, LO QUE ES NORMAL, PUES ES LA MÁS COMPLEJA DE TODAS.EL AÑO PASADO EN UNA FICHA DE REFUERZO OS RECOMENDABA QUE HICIERAIS LA TABLA DEL DIVISOR PARA ASÍ TENER YA LOS RESULTADOS Y ÚNICAMENTE IR RESTANDO AL DIVIDENDO. ESTE AÑO LO PODEMOS HACER PROBANDO POR EL NÚMERO QUE PENSEMOS APROXIMADO EN LUGAR DE HACER TODA LA TABLA.OTRO ERROR COMÚN QUE COMETEMOS OCURRE CUANDO NOS ENCONTRAMOS UN NÚMERO EN EL DIVIDENDO MÁS PEQUEÑO QUE EL DIVISOR. TENEMOS QUE HACER AQUELLO DE "CERO AL COCIENTE Y BAJO LA CIFRA SIGUIENTE". UN EJEMPLO:CADA UNO VA A PREPARAR UNA SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. (DEBE ESTAR RESUELTA EN VUESTRA UNIDAD PARA PODER PARTICIPAR). VUESTRAS OPERACIONES SE LAS PASARÉIS A UN COMPAÑERO PARA QUE LAS RESUELVAN EN SU UNIDAD. SI TENÉIS TODAS LAS OPERACIONES BIEN GANÁIS UN PUNTO CLASSDOJO.

LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD SON PAUTAS QUE NOS PERMITEN SABER DE MANERA SENCILLA SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE ENTRE OTRO. NOS PUEDEN SERVIR PARA DESCOMPONER NÚMEROS (ALGO QUE UTILIZAREMOS EN EL PRÓXIMO APARTADO DEL TEMA CON EL MCM Y MCD) O PARA SIMPLIFICAR FRACCIONES.

ANTES DE NADA EXPLICAR QUE EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ES EL NÚMERO MÁS PEQUEÑO QUE SERÍA MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS. MIENTRAS QUE EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR SERÍA EL NÚMERO MAYOR POR EL QUE SE PUEDE DIVIDIR DOS O MÁS NÚMEROS. PARA HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO O EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR LO PRIMERO QUE TENEMOS QUE HACER ES DESCOMPONER EL NÚMERO EN FACTORES PRIMOS (NÚMEROS PRIMOS). RECORDAD QUE ESCRIBÍAMOS LA LISTA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS PRIMOS (2, 3, 5, 7, 11, 13) Y COMENZÁBAMOS SIEMPRE POR EL NÚMERO MENOR (2), SI ES POSIBLE DIVIDIRLO CONTINUARÍAMOS CON EL 2, SINO PASARÍAMOS AL SIGUIENTE (3) PERO NUNCA PODEMOS VOLVER HACIA ATRÁS UNA VEZ HAYAMOS DEJADO DE UTILIZAR UN NÚMERO. EN ESTE VÍDEO NOS LO EXPLICAN DE FORMA GRÁFICA: UNA VEZ DESCOMPUESTOS LOS NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS BUSCAMOS EL MCM O EL MCD SIGUIENDO LA PAUTA EN FUNCIÓN DE CUAL DE LOS DOS BUSQUEMOS.

SI BUSCAMOS EL MCM DEBEMOS COGER DE CADA NÚMERO LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES DE MAYOR EXPONENTE. EJEMPLO:

QUEREMOS ENCONTRAR EL MCM DE LOS NÚMEROS 6, 12 Y 30. YA LOS HEMOS FACTORIZADO Y EL RESULTADO DE COGER LOS NÚMEROS PRIMOS QUE LO FORMAN SE ENCUENTRAN EN LA PARTE DE ABAJO. AHORA DEBEMOS COGER LOS COMUNES Y NO COMUNES, ES DECIR, DA IGUAL QUE ESTÉN O NO REPETIDOS EN LOS 3 NÚMEROS PERO DEBEMOS COGER LOS DE MAYOR EXPONENTE. ENTONCES COGERÍAMOS: EL DOS ELEVADO A TRES (PUESTO QUE ES EL MAYOR DE TODOS LOS DOSES QUE APARECEN), EL TRES, QUE SE REPITE EN LOS TRES NÚMEROS (AUNQUE NO SE REPITIERA TAMBIÉN LO COGERÍAMOS) Y POR ÚLTIMO EL 5, YA QUE SE COGEN COMUNES Y NO COMUNES. LA SOLUCIÓN SERÍA EL RESULTADO DE MULTIPLICAR: 2 x 2 x 2 x 3 x 5 QUE DARÍA UN RESULTADO DE 120.

VAMOS AHORA CON EL MCD. AHORA, UNA VEZ FACTORIZADOS LOS NÚMEROS COGEMOS LOS FACTORES COMUNES (ES DECIR, LOS QUE ESTÉN REPETIDOS EN TODOS LOS NÚMEROS) Y QUE SEAN DE MENOR EXPONENTE (LOS MÁS PEQUEÑOS)

VAMOS A UTILIZAR EL MISMO EJEMPLO: AHORA COGERÍAMOS EN 2, PUESTO QUE SE ENCUENTRA EN EL 6, EN EL 12 Y EN EL 30. NO COGERÍAMOS EL 2 ELEVADO A 3 PORQUE ES EL DE MAYOR EXPONENTE (EL MÁS GRANDE) Y COGERÍAMOS EL 3 PORQUE TAMBIÉN SE ENCUENTRA REPETIDO EN TODOS LOS NÚMEROS. EN ESTA OCASIÓN EL 5 SE QUEDARÍA FUERA PORQUE SOLAMENTE SE ENCUENTRA EN EL NÚMERO 30. POR TANTO EL MCD SERÍA EL RESULTADO DE MULTIPLICAR 2 x 3 = 6.

CONTENIDOS PREVIOS Para comenzar el curso vamos a hacer un pequeño repaso de algunos contenidos referentes a números y operaciones. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN PROPIEDAD CONMUTATIVA: En la multiplicación, el orden de los factores (números que se multiplican) no altera el producto (resultado). 8 x 5 = 40 del mismo modo que 5 x 8 = 40. ¿Cuál será el resultado de la segunda multiplicación? ¿Por qué lo sabes? PROPIEDAD ASOCIATIVA: Cuando multiplicamos tres o más números podemos agruparlos (asociarlos) de diferentes maneras y el resultado no va a variar. 2 x (4 x 7) es igual que (2 x 4) x 7 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Esta propiedad puede resultar más compleja de entender que las dos anteriores, pero aún así nos va a resultar sencilla. Lo que nos dice la propiedad distributiva es que si multiplicamos un número por dos números que se están sumando, el resultado será el mismo que si multiplico el mismo número por cada uno de los dos sumandos y los sumo. En el ejemplo lo vamos a ver mucho más claro. 3 x (5 + 2) = (3 x 5) + (3 x 2) = 21 Es lo mismo sumar el 3 por el resultado de la suma (que en este caso sería 7) que multiplicar el 3 por los dos sumandos (2 y 5) y sumar sus resultados. Esta propiedad va a ser fácil de reconocer porque es la única en la que aparece otra operación además de la multiplicación (la suma). * NOTA* La propiedad distributiva también ocurre con dos números que se restan, lo único que varía es que el resultado de las dos multiplicaciones finales, en lugar de sumarlos se restarían. PROPIEDAD DE LA DIVISIÓN Esta propiedad nos va a resultar muy útil para comprobar que el resultado de mi división es el correcto. La propiedad de la división nos dice que si multiplico el divisor por el cociente y le sumo el resto, el número que debe resultar es el dividendo. (Muy importante conocerse los términos de la división para poder realizarla de manera correcta) Vemos como en el ejemplo, la D mayúscula es el dividendo (es decir, el número que me tendría que dar como resultado), la d minúscula es el divisor, la c el cociente y la R el resto. Por tanto multiplicaríamos el dividendo por el cociente (2570 x 5) que daría 12.850 y por último le sumaríamos el resto (3) y tendríamos el dividendo, lo que me indica que la división está bien hecha. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS Como ya sabéis, los números primos son aquellos que solamente son divisibles por la unidad (1) y por sí mismo, y por tanto tienen dos divisores; mientras que los números compuestos tiene más de dos divisores. *NOTA* El número 1 no es ni primo ni compuesto. EN AMARILLO TENÉIS LOS NÚMEROS PRIMOS DEL 1 AL 100

EN EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL, EL VALOR DE CADA CIFRA DEPENDE DE LA POSICIÓN QUE OCUPE. POR EJEMPLO, TENEMOS 2 DECENAS DE MILLAR Y 2 CENTENAS. AMBAS SON LA CIFRA 2 PERO LAS 2 DECENAS DE MILLAR CORRESPONDEN A 20.000 UNIDADES, MIENTRAS QUE LAS DOS CENTENAS CORRESPONDEN A 200 UNIDADES. OTRO EJEMPLO: EN EL NÚMERO 302 EL NÚMERO 3 REPRESENTA A LAS CENTENAS, PERO EN EL NÚMERO 173 EL NÚMERO 3 REPRESENTA A LAS UNIDADES. VAMOS A VOLVER A GANAR UN PUNTO CLASSDOJO RESPONDIENDO EN NUESTRA UNIDAD A LA SIGUIENTE PREGUNTA, ALGO QUE YA HABLAMOS EL AÑO PASADO CUANDO TRABAJAMOS EL SISTEMA SEXAGESIMAL. ¿POR QUÉ DECIMOS QUE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN ES DECIMAL? ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS CON LAS MISMAS CIFRAS SI QUEREMOS ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS QUE ESTÉN COMPUESTOS DE LA MISMA CANTIDAD DE CIFRAS LO ÚNICO QUE TENGO QUE HACER ES COLOCARLOS UNO SOBRE EL OTRO (BIEN COLOCADOS, ES DECIR, UNIDAD CON UNIDAD, DECENA CON DECENA...) Y EMPIEZO A COMPARAR DESDE LA IZQUIERDA. EJEMPLO 464.359.023 464.359.123 A LA HORA DE COMPARAR ESTOS DOS NÚMEROS COMENZARÍA POR EL PRIMER 4 QUE CORRESPONDE A 4 CENTENAS DE MILLÓN (CMM) E IRÍA COMPARANDO HASTA QUE ME ENCUENTRE UN NÚMERO MENOR QUE SU CORRESPONDIENTE EN LA MISMA COLUMNA. EN EL EJEMPLO DEBERÍAMOS LLEGAR HASTA LAS CENTENAS DONDE ENCONTRAMOS UN 0 EN EL NÚMERO DE ARRIBA Y UN 1 EN EL NÚMERO DE ABAJO. POR TANTO EL NÚMERO DE ARRIBA ES INFERIOR AL DE ABAJO. DESCOMPONER NÚMEROS NATURALES

LA JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES COMBINADAS, ES DECIR, EL ORDEN QUE TENEMOS QUE SEGUIR A LA HORA DE RESOLVER LAS DIFERENTES OPERACIONES QUE NOS ENCONTREMOS SIEMPRE VA A SER EL MISMO.

RESOLVER LAS OPERACIONES QUE VAN DENTRO DE UN PARÉNTESIS, ESTÉN EN LA POSICIÓN QUE ESTÉN. DA IGUAL LAS PRIMERAS O LAS ÚLTIMAS, SIEMPRE ES LA PRIMERA OPERACIÓN QUE SE RESUELVE. EN CASO DE ENCONTRAR VARIOS PARÉNTESIS SE RESUELVEN EN ORDEN.
RESOLVEMOS AHORA LAS MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES. EN CASO DE ENCONTRAR MÁS DE UNA LAS RESOLVEMOS EN ORDEN.
POR ÚLTIMO RESOLVEMOS LAS SUMAS Y LAS RESTAS. IGUAL QUE EN LAS ANTERIORES, SI HAY MÁS DE UNA RESOLVEMOS EN EL ORDEN EN QUE NOS LAS ENCONTREMOS.

MUY IMPORTANTE QUE DESPUÉS DE RESOLVER UNA OPERACIÓN (SEA LA QUE SEA) VOLVEMOS A COPIAR DE NUEVO ENTERA LA OPERACIÓN COMBINADA PARA QUE NOS RESULTE MÁS FÁCIL.

SIEMPRE TENEMOS QUE TENER MUY PRESENTES LOS PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA, PUES SERÁN LAS SITUACIONES MÁS COMPLICADAS A LAS QUE NOS ENFRENTAREMOS EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS. EN EL CASO DE ESTE TEMA 1, PARA RESOLVER UN PROBLEMA PASO A PASO NOS VAN A AYUDAR MUCHO LOS SIGUIENTES CONSEJOS:

LEER BIEN EL ENUNCIADO Y SUBRAYAR LOS DATOS Y LA PREGUNTA.
PENSAR QUÉ OPERACIONES TENGO QUE REALIZAR Y CUÁNTAS. TENED EN CUENTA QUE ESTÁIS EN 6º DE PRIMARIA Y LA MAYORÍA DE PROBLEMAS QUE AFRONTÉIS VAN A TENER MÁS DE UNA OPERACIÓN QUE REALIZAR PARA CONSEGUIR LA SOLUCIÓN.
SIEMPRE REPASAR LAS OPERACIONES, REVISAR LOS PASOS SEGUIDOS Y PENSAR SI LA SOLUCIÓN PUEDE TENER SENTIDO LEYENDO DE NUEVO EL ENUNCIADO.

EN ESTE TEMA EL OBJETIVO ES CONSEGUIR MULTIPLICAR CENTENAS Y MILLARES EXACTOS SIN LA NECESIDAD DE UTILIZAR PAPEL Y BOLI.SERÁ FUNDAMENTAL PARA CONSEGUIRLO SABER MULTIPLICAR POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS, ALGO QUE TRABAJAMOS MUCHO EL AÑO PASADO Y QUE NOS SERÁ DE MUCHA UTILIDAD.LO PRIMERO QUE TENGO QUE HACER ES MULTIPLICAR EL NÚMERO PROPUESTO POR EL PRIMER NÚMERO DE LA CENTENA O MILLAR OLVIDÁNDOME DE LOS CEROS, PUES UNA VEZ HAYA REALIZADO ESA MULTIPLICACIÓN LE AÑADIRÉ AL RESULTADO DICHOS CEROS. EJEMPLO:245 x 4000 =

PRIMERO MULTIPLICO 245 x 4
COMENZARÍA MULTIPLICANDO EL 4 POR EL 5 QUE ME DA 20. DEJO EL CERO EN EL RESULTADO Y ME LLEVO 2.
SIGO 4 POR EL 4 DE LAS DECENAS QUE ME DA 16, PERO COMO ME HE LLEVADO 2 ME DARÍA 18 POR TANTO DEJO EL 8 CON EL 0 ANTERIOR (80) Y ME LLEVARÍA 1 PARA LA ÚLTIMA MULTIPLICACIÓN.
ME QUEDA 4 POR 2 QUE SON 8 Y UNA QUE ME LLEVO 9, SE LO AÑADO A MI RESULTADO Y ME DARÍA 980.
ÚLTIMO PASO: AÑADIRLE LOS 3 CEROS QUE ME DEJÉ AL PRINCIPIO. RESULTADO: 980.000

SIEMPRE QUE HAGAMOS OPERACIONES DE ESTE ESTILO, LOS CEROS FINALES LOS DEJO PARA EL FINAL. ASÍ SIMPLIFICO LA MULTIPLICACIÓN Y ME RESULTARÁ MUCHO MÁS FÁCIL, PERO OJO, NO OLVIDES AÑADIRLOS AL FINAL.

Tema 1 Números y operaciones 6º

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